2001　京都大学　後期MathJax

【１】　$xy$平面上のベクトル$\overrightarrow{u}\text{，}\overrightarrow{v}$について

$\left|\overrightarrow{u}\right|=1\text{，}$$|\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}|=1\text{，}$$|2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|=\sqrt{2}$

が成り立っているとする．原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{u}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{v}$で定めるとき，$▵\mathrm{OPQ}$の面積を求めよ．

【２】　$1$または$-1$からなる数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$において，そのうちの$m$個が$1$で，$(n-m)$個は$-1$とする．$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$に対し，

$b_k={\displaystyle \frac{1}{2}}(k{a}_k+{\displaystyle \sum _{j=1}^k}{a}_j)$

とおく．集合$\{b_k|1\leqq k\leqq n\}$を求めよ．

【３】　$xy$平面上の曲線$C_1:y=x^3+2x^2+2$上の点$\mathrm{P}$における接線を$L$とする．$L$と曲線$C_2:y=3x^2$とで囲まれる図形の面積の最小値を求めよ．

【４】　複素数平面上の単位円に内接する正五角形で，$1$がその頂点の$1$つとなっているものを考える．この正五角形の辺を延長してできる直線の交点のうち，もとの正五角形の頂点以外のもので，実部，虚部がともに正であるものを$z$とする．

(1)　$\alpha =\cos 72°+i\sin 72°$とするとき，$\alpha$を用いて$z$を表せ．ただし，$i$は虚数単位を表す．

(2)　$3$点$1\text{，}{\alpha }^2\text{，}z$を通る円は，原点を通ることを示せ．

【５】　青玉$a$個，赤玉$b$個，白玉$c$個，合計$N=a+b+c$個の玉が入っている袋がある．この袋から無作為に$1$個の玉を取り出し，色を見て袋にもどす．これを$n$回繰り返す．取り出される玉の色の数の期待値を$E_n$とするとき，

$E_n=3-{\left({\displaystyle \frac{a+b}{N}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{b+c}{N}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{c+a}{N}}\right)}^n$

を示せ．

【１】　方程式

$x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz-5=0$

をみたす正の整数の組$(x,y,z)$をすべて求めよ．

【２】　正の整数$n$に対し，多項式$f_n(x)$を，$n=1$に対しては$f_1(x)=1$とし，$n\geqq 2$のときは

$f_n(x)=(1+x)f_{n-1}(x^2)$

で帰納的に定める．$g_n(x)=(1-x)f_n(x)$とおくとき，$g_n(x)$を求めよ．また，$n\to \infty$のとき$f_n(x)$が収束する実数$x$の範囲を求めよ．

【４】　負でない実数$a$に対し，$0\leqq r<1$で，$a-r$が整数となる実数$r$を$\{a\}$で表す．すなわち$\{a\}$は，$a$の小数部分を表す．

(1)　$\{n{\log }_{10}2\}<0.02$となる正の整数$n$を$1$つ求めよ．

(2)　$10$進法による表示で$2^n$の最高位の数字が$7$となる正の整数$n$を$1$つ求めよ．

　ただし，$0.3010<{\log }_{10}2<0.3011\text{，}0.8450<{\log }_{10}7<0.8451$である．

【５】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$および実数$s$に対し，行列を用いて表された$x\text{，}y$に関する$2$つの連立一次方程式

(ⅰ)　$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}s\\ 1-s\end{array}\right)$

(ⅱ)　$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 5-s\end{array}\right)$

について，次の条件(＊)を考える．

(＊)　方程式(ⅰ)には解が存在して，方程式(ⅱ)には解が存在しない．

　このとき，次の問に答えよ．

(1)　条件(＊)が成り立つとき，$\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right)$は，いずれも$\left(\begin{array}{c}s\\ 1-s\end{array}\right)$の実数倍であることを示せ．

(2)　条件(＊)をみたす$2$つの連立方程式を作ることができるための$s$の条件を求めよ．

【６】　$xy$平面上の単位円$C_1$と，条件$-1<a<-{\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたす実数$a$に対し，点$\mathrm{R}(a,0)$を考える．$C_1$上の点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と，$\mathrm{R}$を通りこの直線と直交する直線との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が$C_1$を一周するときに，$\mathrm{Q}$が描く曲線を$C_2$とする．$C_2$上の点の$x$座標の最小値が$-1$より小さいことを示し，$C_2$で囲まれる図形の面積を求めよ．