2001　岡山大学　前期MathJax

【１】　$n$を自然数とする．$f(x)$は$2$次関数で，曲線$y=f(x)$は座標平面上の$3$点$(-1,0)\text{，}(0,1)\text{，}(n,n)$を通るとする．

(1)　$2$次関数$f(x)$を求めよ．

(2)　この関数$f(x)$について

$S=f(0)+f(1)+f(2)+\cdots +f(n)$

の値を$n$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた$S$の値が整数であるためには，$n+2$が$3$の倍数であることが必要十分である．このことを証明せよ．

【２】　関数$f(x)$を次のように定義する．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}4x^2-7x+4& \text{（}x\leqq 1\text{の場合）}\\ x& \text{（}x>1\text{の場合）}\end{array}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　実数$t$に対して$F(t)$を

$F(t)={\displaystyle {\int }_t^{t+1}}f(x)dx$

で定義するとき，関数$F(t)$の増減を調べ，そのグラフの概形を描け．また，$F(t)$の最小値を求めよ．

【３】　複素数平面において，複素数$z=x+iy$（$x\text{，}y$は実数，$i$は虚数単位）が直線$y=1$の上を動くとき，${\displaystyle \frac{1}{z^2}}$が描く図形を$C$とする．

(1)　$C$が実軸に関して対称であることを証明せよ．

(2)　$C$上の点に対応する複素数の絶対値を$r\text{，}$偏角を$\theta$とするとき，$r$を$\theta$で表せ．

【４】　$1$辺の長さが$a$の正方形の板が$1$枚ある．この板から，$1$辺の長さが$x$の正三角形$4$枚を切り出して正四面体をつくることを考える．次の問いに答えよ．ただし，板の厚さは無視する．

(1)　図１のように正三角形$2$枚で平行四辺形をつくり，これを単位として切り出すとする．ただし，平行四辺形の$1$辺は正方形の辺上にとるものとする．このとき，正四面体の体積が最大となるような$x$と，そのときの体積を求めよ．

(2)　図２のように各三角形の$1$辺を正方形の各辺上にとり，切り出すとする．正四面体の体積が最大となるような$x$を求めよ．

【２】　原点を中心とする半径$1$の円が座標平面上にある．この円に内接する正三角形を原点を中心に回転させるとき，この正三角形の第$1$象限にある部分の面積の最小値と最大値を求めよ．

【３】　$\alpha$を$0$でない複素数とし，その偏角$\theta$は$0°<\theta <90°$をみたすものとする．原点を$\mathrm{O}$とする複素数平面において$\alpha \text{，}{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$の表す点をそれぞれ$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$とする．

(1)　実数$1$の表す点を$\mathrm{A}$とする．$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{X}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{Y}$の順に結んでできる四角形において，$\angle \mathrm{A}$を$\angle \mathrm{O}$で表せ．

(2)　実数$t$の表す点を$\mathrm{T}$とする．$\alpha$によらず点$\mathrm{T}$がつねに三角形$\mathrm{OXY}$の外部にあるとき，実数$t$はどのような範囲にあるか．

【４】　$f(t)$を連続関数，$x$を実数として，関数$g(x)$を次のように定義する．

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^1}|f(t)-x|dt$

(1)　$f(t)=e^t$のとき，関数$g(x)$の増減を調べ，$y=g(x)$のグラフの概形を描け．ただし，$e=2.71828\cdots$は自然対数の底である．

(2)　$f(t)$は微分可能な単調増加関数で，その逆関数も微分可能とし，$a=f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$とおく．このとき，$g(x)$は$x=a$で最小値をとることを証明せよ．