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2001 広島大学 前期

数学I・数学II・数学A・数学B

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1) 次の不等式を満たす x の範囲を求めよ.

log3 (x-7 )+log3 (x- 5)1

(2) 次の不等式を満たす y の範囲を求めよ.

9y- 8× 3y- 90

(3)  x y がそれぞれ(1),(2)の範囲を動くとき, log2 x+2y の最大値を求めよ.

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数学I・数学II・数学A・数学B

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【2】 放物線 y= x2 と直線 l 2 点で交わっている.それらの交点の x 座標を s t s <t とするとき,次の問いに答えよ.

(1) 放物線 y= x2 と直線 l で囲まれた部分の面積 S は, S= 16 (t -s)3 で与えられることを証明せよ.

(2) 直線 l が,点 (t, t2) における y= x2 の接線と直交しているとき, s t で表せ.

(3) (2)のとき,(1)の面積 S の最小値,および最小値を与える t を求めよ.

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数学I・数学II・数学A・数学B

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【3】  y=a (sinθ +cosθ )+sin 2θ とする.ただし, a は正の定数である.

(1)  t=sin θ+cos θ とおいて, y t の式で表せ.

(2)  t=sin θ+cos θ のとりうる値の範囲を求めよ.

(3)  y の最大値 M と最小値 m を,それぞれ a を用いて表せ.

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数学I・数学II・数学A・数学B

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【4】 三角形 OAB において,辺 AB BO をそれぞれ 1: 2 に内分する点を M N とする.また,線分 OM AN の交点を P とする.

(1)  a =OA b =OB とおくとき, OM AN OP をそれぞれ a b で表せ.

(2)  OM AN が直交し, |a | =1 | b |= 3 のとき, AOB を求めよ.

(3) (2)のとき,さらに | OP | を求めよ.

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【5】 さいころを投げて出た目の数が k で割り切れるという事象を Ak 2 個のさいころを同時に投げて出た 2 つの目の数の積が k で割り切れるという事象を B k 3 個のさいころを同時に投げて出た 3 つの目の数の積が k で割り切れるという事象を Ck とする.

(1) 事象 A2 A3 A4 の確率 P (A2 )P (A 3) P (A4 ) を,それぞれ求めよ.

(2) 事象 B2 B3 B4 の確率 P (B2 ) P( B3) P( B4 ) を,それぞれ求めよ.

(3) 事象 C 2 C3 の確率 P (C2 )P (C 3) を,それぞれ求めよ.

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【1】  z 0° <argz <90° を満たす複素数とし,複素数平面上の 3 O (0) A (1) B (z) を頂点とする OAB を考える.また, α= 1+3 i2 とおく.

(1)  α2 -α+1 の値を求めよ.

(2) 点 P( w) を,直線 OB に関して点 A と反対側に, POB が正三角形になるようにとる.複素数 w z α を用いて表せ.

(3) 点 Q( z+α- αz ) に対し, ABQ は正三角形であることを示せ.

(4)  arg ( z +α-α zw -1 ) を求めよ.ただし,偏角の範囲は, 0° 以上 360° 未満とする.

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【2】  a>0 とし,極方程式 r= 2a sinθ ( 0θ π4 ) で表される曲線を C とする.

(1) 曲線 C は円の一部であることを示し,その円の中心と半径を求めよ.さらに,曲線 C を図示せよ.

(2) 曲線 C x 軸および直線 x= a で囲まれた図形を, x 軸の回りに 1 回転してできる立体の体積を求めよ.

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【3】 数列 {a n} は,関係式

a1= 2 (a n+1 -an )2 =2 (an +1+ an) an +1> an n =1 2 3

によって定まっている.

(1)  a2 a3 a4 を計算せよ.

(2) 一般項 an n の式で表せ.

(3)  limn (an +1 -an ) を求めよ.

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【4】 次のそれぞれの問いに答えよ.

(1) 行列 A= ( ab cd ) B= ( 42 21 ) A B=O を満たすとき,行列 A 4 つの成分の積 a bc d は正または 0 であることを示せ.

(2) 行列 A= ( ab cd ) が逆行列を持たず, 3 つの成分が正であるとき,残りの 1 つの成分も正であることを示せ.

(3)  A B 2 × 2 行列とする. AB= O かつ B O ならば, A の逆行列 A -1 は存在しないことを示せ.

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【5】 関数 f (x) が任意の実数 x に対して

f(x )=x2 - 0 x (x-t ) f (t )dt

を満たすとき,次の問いに答えよ.

(1)  f(0 ) の値を求め,さらに f (x) =2x -f( x) が成り立つことを示せ.

(2)  ( exf (x )) = 2x ex を示せ.

(3)  f(x ) を求めよ.

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【6】  A B C 3 人が優勝決定戦を行う.まず 3 人のうち 2 人が対戦し,その勝者が残りの 1 人と対戦する.これをくり返して, 2 回続けて勝ったものを優勝者とする. A B が対戦したときにそれぞれが勝つ確率は 12 とし, C A または B と対戦したときに C が勝つ確率は p 0 <p<1 ), 負ける確率は 1- p であるとする.

 第 1 回戦は A B の対戦として次の問いに答えよ.

(1) 第 2 回戦では第 1 回戦の勝者が残りの C と対戦する. C が負ければ勝者は優勝者となるが, C が勝てば C は第 1 回戦の敗者と第 3 回戦を行う.第 3 回戦で優勝者が決まる場合の各対戦の勝者を順に並べると, ACC BCC 2 通りの順列が得られる.第 4 回戦で優勝者が決まる場合の各対戦の勝者の順列を答えよ.

(2) 第 m 回戦で優勝者が決まる確率を Fm とする. F2 F3 F4 をそれぞれ求めよ.

(3)  2 以上の自然数 n に対して,確率 F 3n を求めよ.

(4)  n=1 F3 n を計算せよ.

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