2001　高知大学　前期MathJax

【１】　円$x^2+y^2=3$と放物線$y=x^2+a$が$2$点で交わり，各交点における放物線の接線がともに原点を通るとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数である．

(1)　$a$の値および接線の方程式を求めよ．

(2)　円と放物線とで囲まれる部分の面積を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$z^2-z+1=0$を満たす$z$に対して，$z^6$を求めよ．

(2)　複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(z_1)\text{，}\mathrm{B}(z_2)\text{，}\mathrm{C}(z_3)$に対して，

${(z_2-z_1)}^2-(z_2-z_1)(z_3-z_1)+{(z_3-z_1)}^2=0$

が成り立つとき，三角形$\mathrm{ABC}$は正三角形であることを示せ．

【３】　方程式

$2x^3+3x^2-12x-k=0$

は，異なる$3$つの実数解$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$をもつとする．$\alpha <\beta <\gamma$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　定数$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　$-2<\beta <-{\displaystyle \frac{1}{2}}$となるとき，$\alpha \text{，}\gamma$の値の範囲を求めよ．

【４】　$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を頂点とする正四面体がある．各辺の長さを$1$とし，辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$をとる．$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=p\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{BQ}}\right|=q$として，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}+l\overrightarrow{\mathrm{OB}}+m\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，$k\text{，}l\text{，}m$を$p\text{，}q$で表せ．

(2)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2$を$p\text{，}q$で表せ．

(3)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がそれぞれ辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{BC}$上を動くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$の最小値を求めよ．

【１】　$2$つの放物線$C_1:y=a{x}^2+b\text{，}{C}_2:y^2=x$は，$y$座標が$-1$である点$\mathrm{P}$で交わり，$\mathrm{P}$における放物線$C_1\text{，}{C}_2$の接線$l\text{，}m$は直交しているとする．ただし，$a\ne 0$である．

(1)　定数$a\text{，}b$の値，および接線$l\text{，}m$の方程式を求めよ．

(2)　放物線$C_2$と接線$l$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　関数$f(x)=\log x$について，次の問いに答えよ．

(1)　$a>1$のとき，定積分${\displaystyle {\int }_1^a}f(x)dx$と${\displaystyle {\int }_1^a}{\{f(x)\}}^{2}dx$を求めよ．

(2)　原点から曲線$y=f(x)$にひいた接線の方程式を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と(2)の接線および$x$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

【３】　単位円に内接する正$n$角形の周の長さを$S_n\text{，}$外接する正$n$角形の周の長さを$T_n$で表すと，$S_n<2\pi <T_n$である．次の問いに答えよ．

(1)　$S_n\text{，}{T}_n$を$n$で表し，数列$\{S_n\}\text{，}\{T_n\}$はともに$2\pi$に収束することを示せ．

(2)　$S_n\text{，}{T}_n$に対して，

$T_{2n}={\displaystyle \frac{2S_n{T}_n}{S_n+T_n}}\text{，}{S}_{2n}=\sqrt{S_n{T}_{2n}}$

が成り立つことを示せ．

(3)　(2)を用いて，$S_{12}\text{，}{T}_{12}$の値を求めよ．

(4)　(3)を用いて，不等式$3.10<\pi <3.22$を示せ．必要ならば，$1.414<\sqrt{2}<1.415\text{，}1.732<\sqrt{3}<1.733\text{，}2.449<\sqrt{6}<2.450$を用いよ．

【４】　原点を$\mathrm{O}$とする空間の$3$点$\mathrm{A}(7,1,5)\text{，}\mathrm{B}(a,0,4)\text{，}\mathrm{C}(3,-1,a+1)$に対して，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{D}$は$\mathrm{OA}\perp \mathrm{BD}\text{，}\mathrm{OA}\perp \mathrm{CD}$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　定数$a$の値および点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{BCD}$の面積を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．