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2001 九州大学 前期

文系,理系共通

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x)= 23 ax3 +(a+ b)x 2+(b +1) x を考える.

(1) 関数 f (x) がつねに増加するための a b の条件を求め,その範囲を ab 平面上に図示せよ.

(2)  a=0 のとき,関数 f (x) x> -1 においてつねに増加するための b の条件を求めよ.

(3) 関数 f (x) x> -1 においてつねに増加するための a b の条件を求め,その範囲を ab 平面上に図示せよ.

2001 九州大学 前期

文系

理系【2】の類題

配点50点

易□ 並□ 難□

【2】  3 次関数 y= x3+ ax 2+b x+c のグラフを G とする.

(1)  xy 平面上の点 (p, q) に関する,点 (X, Y) に対称な点の座標を求めよ.

(2)  G はこの上のある点に関して点対称であることを示せ.

(3)  y 軸に平行な直線 x= p に関する,点 (X, Y) に対称な点の座標を求めよ.

(4)  G y 軸に平行などんな直線に関しても線対称でないことを示せ.

2001 九州大学 前期

文系

【3】〜【5】から1題選択

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】 数列 {an }

a1= 2 an+ 1= an2 -an +1 n =1 2 3

で与える. a1 an の積を Pn とおく.

(1) 各 n について an >0 であることを示せ.

(2) 各 n について a n+1 =Pn +1 であることを示せ.

(3) 

Sn= 1 a1 ++ 1 an

とおく. S1 S2 S 3 S4 を求めよ.

(4) 各 n について Sn Pn で表せ.

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文系

【3】〜【5】から1題選択

配点50点

易□ 並□ 難□

【4】(1) 自然数 a b が互いに素であるとはどういうことか.

(2) 自然数 a b が互いに素であるなら a2 b2 は互いに素であることを示せ.

(3)  n を自然数とする.もしも n が有理数ならば, n は自然数であることを示せ.ただし,有理数とは分母と分子がともに整数で表される分数のことである.

(4)  n が自然数のとき, n n+ 1 n+ 2 のうち少なくとも 2 つは無理数であることを示せ.

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文系

【3】〜【5】から1題選択

配点50点

易□ 並□ 難□

【5】  r 1 より小さい正の定数とする.平面上の点 A を端点とする半直線 l 上の点で A からの距離が 1- r 1 1 +r となるものをそれぞれ B C D とする. BD を直径とする円を描き, A を端点としその円に接する半直線のひとつを m とする. m 上の点で A からの距離が 1- r 1 1 +r となるものをそれぞれ E F G とする. E F を通り l に接する円を描きその接点を P とする.また F G を通り l に接する円を描きその接点を Q とする.

(1)  A P との間の距離 AP r で表せ.

(2)  CF r で表せ.

(3)  PQ=CF を示せ.

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文系

【6】〜【8】から1題選択

理系【4】の類題

配点50点

易□ 並□ 難□

【6】 複素数平面上の点 z を考える.

(1) 実数 a c と複素数 b | b| 2-a c>0 をみたすとき

az z +b z+ bz + c=0

をみたす点 z a 0 のとき,どのような図形を描くか.ただし, z z に共役な複素数を表す.

(2)  0 でない複素数 d に対して

dz (z +1) =d z (z +1)

をみたす点 z はどのような図形を描くか.

2001 九州大学 前期

文系

【6】〜【8】から1題選択

配点50点

易□ 並□ 難□

【7】 サイコロを n 回振って,出た目を小さい方から順に並べ,第 i 番目を Xi i= 1 n とする.

(1)  n=7 のとき, 3 の目が 3 回, 5 の目が 2 回出たとする.このとき X4 のとりうる値をすべて求めよ.

(2) 一般の n に対して, X1= 2 となる確率 P (X1 =2) を求めよ.

(3) 一般の n に対して, X1 の期待値 E (X1 ) を求めよ.

(4) 一般の n に対して,期待値 E (X1 +Xn ) を求めよ.

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文系

【6】〜【8】から1題選択

理系【6】の類題.理系は(4)が追加

配点50点

易□ 並□ 難□

【8】  m n を自然数とする.次の算法を考える.

(a)  i=m j=n k =0

(b)  i=1 ならば Ans= k+j として終了する.

(c)  i の値が奇数なら k= k+j とする.

(d)  i=[i /2]

(e)  j=2* j

(f) (b)にもどる.

(ここで, [x] x を越えない最大の整数を表す.)

(1)  m=100 のとき, 3 周目と 4 周目の(b)における i j k の値を求めよ.たとえば 1 周目では i= 100 j=n k=0 である.

(2) 一般の m に対して,(b)における i j k の値について i* j+k 1 周目から最後まで一定であることを示せ.

(3) 一般の m に対して, Ans を求めよ.

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理系

配点50点

文系【2】の類題

易□ 並□ 難□

【2】  3 次関数 y= x3+ ax 2+b x+c のグラフを G とする.

(1)  xy 平面上の点 (p, q) に関する,点 (X, Y) に対称な点の座標を求めよ.

(2)  G はこの上のある点に関して点対称であることを示せ.

(3) 直線

mx+ ny= 0

に関する,点 (X, Y) に対称な点の座標を求めよ.ただし m n は共には 0 でないとする.

(4)  G は原点を通るどんな直線に関しても線対称でないことを示せ.

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理系

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】 空間内に以下のような円柱と正四角柱を考える.円柱の中心軸は x 軸で,中心軸に直交する平面による切り口は半径 r の円である.正四角柱の中心軸は z 軸で, xy 平面による切り口は一辺の長さが 22 r の正方形で,その正方形の対角線は x 軸と y 軸である. 0<r 2 とし,円柱と正四角柱の共通部分を K とする.

(1) 高さが z= t -r tr xy 平面に平行な平面と K との交わりの面積を求めよ.

(2)  K の体積 V (r) を求めよ.

(3)  0<r 2 における V (r) の最大値を求めよ.

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理系

【4】〜【6】から1題選択

配点50点

文系【6】の類題

易□ 並□ 難□

【4】 複素数平面上の点 z を考える.

(1) 実数 a c と複素数 b | b| 2-a c>0 をみたすとき

az z +b z+ bz + c=0

をみたす点 z a 0 のとき,どのような図形を描くか.ただし, z z に共役な複素数を表す.

(2)  0 でない複素数 d と複素数平面上の異なる 2 p q に対して

d(z -p) (z -q )= d (z- q)( z -p )

をみたす点 z はどのような図形を描くか.

2001 九州大学 前期

理系

【4】〜【6】から1題選択

配点50点

文系【7】の類題

易□ 並□ 難□

【5】 サイコロを n 回振って,出た目を小さい方から順に並べ,第 i 番目を Xi i= 1 n とする.

(1)  n=7 のとき, 3 の目が 3 回, 5 の目が 2 回出たとする.このとき X4 のとりうる値をすべて求めよ.

(2) 一般の n に対して, X1= 2 となる確率 P (X1 =2) を求めよ.

(3) 一般の n に対して, X1 の期待値 E (X1 ) を求めよ.

(4)  limn 1n log (E( X1) -1) を求めよ.ここで log は自然対数を表す.

(5) 一般の n に対して,期待値 E (X1 +Xn ) を求めよ.

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理系

【4】〜【6】から1題選択

配点50点

文系【8】の類題.文系は(4)がない

易□ 並□ 難□

【6】  m n を自然数とする.次の算法を考える.

(a)  i=m j=n k =0

(b)  i=1 ならば Ans= k+j として終了する.

(c)  i の値が奇数なら k= k+j とする.

(d)  i=[i /2]

(e)  j=2* j

(f) (b)にもどる.

(ここで, [x] x を越えない最大の整数を表す.)

(1)  m=100 のとき, 3 周目と 4 周目の(b)における i j k の値を求めよ.たとえば 1 周目では i= 100 j=n k=0 である.

(2) 一般の m に対して,(b)における i j k の値について i* j+k 1 周目から最後まで一定であることを示せ.

(3) 一般の m に対して, Ans を求めよ.

(4)  l を自然数とする. m=3 2l のとき,終了するまでに何回(d)を実行するか.

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理系

【7】〜【9】から1題選択

配点50点

易□ 並□ 難□

【7】 関数 f (x) の第 2 次導関数はつねに正とし,関数 y= f(x ) のグラフ G 上の点 P (t, f(t )) における接線と x 軸のなす角を θ (t) とする.ただし θ (t) - π2< θ( t)< π 2 で接線の傾きが正,負, 0 に従って正,負, 0 の値をとるものとする.また,点 P における G の法線上に P から距離 1 の点 Q (α (t), β(t )) G の下側にとる.

(1)  θ( t) はつねに増加することを示せ.

(2)  α(t )β (t) を求めよ.

(3)  t a から b a <b まで変化するとき,点 P Q が描く曲線の長さをそれぞれ L 1 L2 とする. L2 -L1 θ (a ) θ (b ) を用いて表せ.

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理系

【7】〜【9】から1題選択

配点50点

易□ 並□ 難□

【8】(1)  e を自然対数の底とし,

f(x )=e x- (1+ x+ 12 x 2)

とおく. 0<x< 1 においては 0< f(x )<x 3 が成り立つことを示せ.また

limx n2 f( 1n ) =0

を示せ.必要であれば e< 3 を使ってよい.

(2) 関数 g (x)= ex を考える.区間 0 x1 n 個の小区間に等分して,各小区間を底辺,小区間の左端の点における関数 g (x) の値を高さとする長方形の面積の和を Kn とする. n のとき,

nk | 01 g (x) dx- Kn |

が有限の値に収束するような最大の自然数 k とそのときの極限値を求めよ.

2001 九州大学 前期

理系

【7】〜【9】から1題選択

配点50点

易□ 並□ 難□

【9】  p q を整数とし, x y を未知数とする連立 1 次方程式

{ 4x+ 9y= p2 x+6 y=q

を考える.

(1) この方程式を行列を用いて表し,係数行列の逆行列を求めよ.

(2) 上の連立方程式の解 x y が共に整数であるような組 (p, q) をすべて求めよ.ただし

0p 5 0q 5

とする.

(3) 正の整数 d で,「 d のどんな倍数 p q に対しても上の連立方程式の解 x y が整数になる」ものが存在することを示せ.

(4) (3)における d のうちで最小のものを求めよ.

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