2001　大阪市立大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$は$a_1=1\text{，}{(a_{n+1}-a_n)}^2=a_{n+1}+a_n\text{，}{a}_{n+1}>a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を満たしている．

問１　$a_2$を求めよ．

問２　$b_n=a_{n+1}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，数列$\{b_n\}$は公差が$1$の等差数列であることを示せ．

問３　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　正の実数$x$に対して，$a\leqq x<a+1$を満たす整数$a$を$[x]$で表し，

$f(x)=x-[x]$

と定める．次の問いに答えよ．必要ならば，$1.584<{\log }_{2}3<1.585$を用いてよい．

問１　$\left[{\displaystyle \frac{7}{3}}\right]\text{，}[{\log }_2{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^4]\text{，}[{\log }_2{\displaystyle \frac{5}{4}}]$を求めよ．

問２　$f({\log }_2{\displaystyle \frac{5}{4}})<f\left({\displaystyle \frac{7}{3}}\right)<f({\log }_2{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^4)$を示せ．

【３】　$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=3$の長方形$\mathrm{ABCD}$の内部に円$P$と円$Q$が含まれている．ただし，円$P$は$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$の$2$辺と，円$Q$は$\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$の$2$辺とそれぞれ接している．また，円$P$と円$Q$は外接している．円$P$の半径を$p\text{，}$円$Q$の半径を$q$とする．

問１　$k=p+q$とおくとき，$k$の値を求めよ．

問２　$p$のとりうる値の範囲を求めよ．

問３　円$P$の面積と円$Q$の面積の和を$S$とするとき，$S$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　$3$次関数$f(x)=x^3+3a{x}^2+3bx+1$は$x=-1$で極大値をとる．

問１　$f(x)$が$x=p$で極小値をとるとき，$b$と$p$を$a$で表せ．

問２　$f(x)$の極大値と極小値の差が${\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$a$の値を求めよ．

【１】　$2$次曲線${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\text{（}a>0\text{，}b>0\text{）}$と$xy=k\text{（}k>0\text{）}$が第$1$象限に共有点をもち，その点における$2$つの曲線の接線が一致するとき，$k$およびその共有点の座標$(x_1,y_1)$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

【２】　空間内に$4$点$\mathrm{A}(0,0,1)\text{，}\mathrm{B}(2,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,2,-1)\text{，}\mathrm{D}(0,2,1)$がある．

問１　点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

問２　点$\mathrm{P}$が$xy$平面上を動き，点$\mathrm{Q}$が直線$\mathrm{AB}$上を動くとき，距離$\mathrm{DP}\text{，}\mathrm{PQ}$の和$\mathrm{DP}+\mathrm{PQ}$が最小となる$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．$e$は自然対数の底とする．

問１　自然数$n$に対して，$K_n={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^n{e}^{x}dx$とおくとき，$K_1\text{，}{K}_2\text{，}{K}_3$を求めよ．

問２　関数$f(x)=x{e}^x$と$2$次関数$g(x)=a{x}^2+bx+c$（$a\text{，}b\text{，}c$は定数）に対して，定積分

$I={\displaystyle {\int }_0^1}{\{f(x)-g(x)\}}^{2}dx$

を考える．$f(x)\text{，}g(x)$が$f(0)=g(0)\text{，}f(1)=g(1)$を満たすとき，$I$は$a$の$2$次式$p{a}^2+qa+r$（$p\text{，}q\text{，}r$はいずれも$a\text{，}b\text{，}c$に関係しない定数）で表される．このとき，$p\text{，}q$の値を求め，さらに$I$を最小にする$a$の値を求めよ．ただし，$r$の値および$I$の最小値は求めなくてよい．

【４】　$xy$平面上で，$y$軸と定点$\mathrm{A}(a,0)$（ただし，$a>0$）からの距離の比が$a:1$となるような点$\mathrm{P}$の軌跡を考える．

問１　点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求め，$a$がどのような値のときにその軌跡は双曲線，楕円，放物線になるかを調べよ．

問２　$x$座標が$0\leqq x\leqq a^2$の範囲内にある点$\mathrm{P}$の軌跡と直線$x=a^2$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．このとき，極限値

$\underset{a\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{V}{\pi a^6}}$

を求めよ．