2001　大阪府立大学　前期MathJax

【１】　平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CP}}$は

$r\overrightarrow{\mathrm{AP}}+s\overrightarrow{\mathrm{BP}}+t\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$

を満たしているとする．ただし，$r\text{，}s\text{，}t$は正の定数である．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表すことにより，点$\mathrm{P}$は$▵\mathrm{ABC}$の内部にあることを示せ．

(2)　$▵\mathrm{PAB}\text{，}▵\mathrm{PBC}\text{，}▵\mathrm{PCA}$の面積の比を$r\text{，}s\text{，}t$を用いて表せ．

【２】　$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードを$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$それぞれが$1$組ずつ持っているとする．いま，$\mathrm{A}$が自分の$4$枚のカードから無作為に$1$枚を引き，$\mathrm{B}$が次の(ⅰ)から(ⅳ)の手順で$\mathrm{A}$の引いたカードの数字を当てるとする．

(ⅰ)　$\mathrm{B}$は，まず，自分のカードから無作為に$1$枚を引き，そのカードの数字を答える．

(ⅱ)　$\mathrm{A}$は，自分の引いたカードの数字が$\mathrm{B}$の答えた数字と比べて「大きい」，「小さい」あるいは「一致している」のいずれかを答える．

(ⅲ)　$\mathrm{A}$の答えが「大きい」または「小さい」の場合，$\mathrm{B}$は可能性のなくなった数字のカードを手持ちのカードから捨て，残ったカードから無作為に$1$枚のカードを引き，その数字を答える．

(ⅳ)　$\mathrm{A}$の答えが「一致している」となるまで(ⅱ)と(ⅲ)を繰り返す．

　このとき，$\mathrm{A}$が「一致している」と答えるまでに$\mathrm{B}$がカードを引く回数の期待値を求めよ．

【３】　$xy$平面上に長さ$2$の線分$\mathrm{PQ}$があって，点$\mathrm{P}$は直線$l:y=\sqrt{3}x$上の$y\geqq 0$の部分を動き，点$\mathrm{Q}$は直線$m:y=-\sqrt{3}x$上の$y\geqq 0$の部分を動く．

(1)　線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$の軌跡を表す方程式を求めよ．

(2)　直線$l\text{，}m$と点$\mathrm{M}$の軌跡で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　$0<m<a$である定数$m\text{，}a$に対して，曲線$y=|x^2-ax|$と直線$y=mx$で囲まれる図形を$D$とする．図形$D$の直線$y=mx$より上の部分と下の部分の面積が等しいとき，$m$を$a$を用いて表せ．

【４】　実数を係数とする$x$についての方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$が異なる$3$つの解$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$をもち，それらの$2$乗${\alpha }^2\text{，}{\beta }^2\text{，}{\gamma }^2$が方程式$x^3+b{x}^2+ax+c=0$の$3$つの解となるとき，$a\text{，}b\text{，}c$および方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$の$3$つの解を求めよ．

【４】　複素数$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3\text{，}\cdots$を

$z_1=1+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}i\text{，}{z}_{n+1}=(1+\sqrt{3}i)z_n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$z_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$z_n$の実部が$1000$以上となる最小の$n$を求めよ．

【４】　$f(x)=x{(2x-3)}^2$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k$を$0<k<1$を満たす定数とするとき，$x$についての方程式$f(x)=k$は$0<x<1$の範囲にただ$1$つの実数解をもつことを示せ．

(2)　$\cos 3\theta$を$\cos \theta$を用いて表せ．

(3)　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

(ⅰ)　$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$

(ⅱ)　$a_n\text{（}0<a_n<1\text{）}$が定まったとき，$x$についての方程式$f(x)=a_n$の$0<x<1$の範囲でのただ$1$つの実数解を$a_{n+1}$とする．

　このとき，$a_n=1-\cos {\theta }_n(0<{\theta }_n<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とおくことにより，$\underset{n\to \infty }{\lim }{9}^n{a}_n$を求めよ．