2001　大阪府立大学　後期MathJax

【１】　$xy$平面上に円$C_1:x^2+y^2-2x=0\text{，}{C}_2:x^2+y^2-x=0$がある．原点$\mathrm{O}$を除いた円$C_1$上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\mathrm{P}$と$\mathrm{O}$を結ぶ直線と円$C_2$の交点のうち$\mathrm{O}$以外の点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{O}$と$x$軸に関して対称な点を${\mathrm{Q}}^{\prime }$とする．このとき，線分$\mathrm{P}{\mathrm{Q}}^{\prime }$の中点$\mathrm{M}$の軌跡を表す方程式を求め，その概形を図示せよ．

【２】(1)　行列の積について，$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$のとき，

$(ad-bc)(eh-fg)=ps-qr$

が成り立つことを示せ．

(2)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}t-1& s\\ s-2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}s+1& t\\ -t& s+3\end{array}\right)$が逆行列をもたないような$s\text{，}t$に対して，つねに行列$B=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ s& t+1\end{array}\right)$が逆行列をもつとする．このとき，定数$a$の範囲を求めよ．ただし，$s\text{，}t\text{，}a$は実数とする．

【３】　$0\leqq t\leqq 1$に対して，$f(t)={\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{x^2+|x-t|}dx$とおく．

(1)　$\underset{t\to +0}{\lim }{f}^{\prime }(t)=-f(0)\text{，}\underset{t\to 1-0}{\lim }{f}^{\prime }(t)=f(1)$が成り立つことを示せ．

(2)　$0<t<1$に対して，$f^{″}(t)-f(t)$を求めよ．

(3)　$f(t)$が最小となるような$t$は，$0<t<1$の範囲にただ$1$つ存在することを示せ．