2001　東北学院大学　経済学部経済学科MathJax

【１】　ある店に$\mathrm{A}$弁当が$4$個，$\mathrm{B}$弁当が$5$個，$\mathrm{C}$弁当が$6$個売られている．次のような場合に，弁当の買い方は何通りあるか．

(ⅰ)　$1$人の客が弁当を$2$個買う場合

(ⅱ)　$1$人の客が弁当を$5$個買う場合

(ⅲ)　$4$人の客が$1$人$1$個ずつ弁当を買う場合

(ⅳ)　$6$人の客が$1$人$1$個ずつ弁当を買う場合

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=10\text{，}\angle \mathrm{ABC}=60°$とする．辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BD}=4$となるように点$\mathrm{D}$をとり，$▵\mathrm{ABC}$と$▵\mathrm{ABD}$の外接円の中心を，それぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　線分$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{PC}\text{，}\mathrm{QD}$の長さを求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$から辺$\mathrm{BC}$にそれぞれ垂線$\mathrm{PM}\text{，}\mathrm{QN}$を引くとき，線分$\mathrm{PM}$と$\mathrm{QN}$の長さを求めよ．

(ⅲ)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

【３】　円$C:x^2+y^2=1$と直線$l:y={\displaystyle \frac{5}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$C$と$l$は異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で交わることを示せ．

(ⅱ)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と点$(1,2)$を通る円の中心の座標と半径を求めよ．

【４】　$A={\log }_{2}3\text{，}B={\log }_{3}5$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　${\log }_{18}12$を$A$で表せ．

(ⅱ)　${\log }_{72}100$を$A\text{，}B$で表せ．

【５】(ⅰ)　整数$n$の平方$n^2$が$3$の倍数ならば，$n$は$3$の倍数であることを証明せよ．

(ⅱ)　$\sqrt{3}$は無理数であることを証明せよ．

【６】　複素数$\alpha \text{，}\beta$が$|\alpha |=|\beta |=|\alpha -\beta |=2$を満たしているとき，次の式の値を求めよ．

(ⅰ)　$|\alpha +\beta |$

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{{\alpha }^3}{{\beta }^3}}$

(ⅲ)　$|{\alpha }^2+{\beta }^2|$