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2001-12441-0201
2001 東北学院大学 工学部
機械・応用物理学科
数学A
2月1日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する答えを,解答用紙の所定の欄に記入せよ.(結果だけでよい.)
数列 {an } について, ∑ k=1 n⁡ ak= n2 であるとき, ∑ k=1 n⁡ ak 2 を求めると, (ア) である.
2001-12441-0202
【2】 次の に適する答えを,解答用紙の所定の欄に記入せよ.(結果だけでよい.)
2 +2 2-2 の整数部分を a , 小数部分を b とすると, (a, b)= (イ) であり, x=a- 4 b とおけば, 3⁢x 3-28 ⁢x2 +64⁢x -13 の値は (ウ) である.
2001-12441-0203
数学B
方程式 ( x2+ x) 2-5⁢ (x2 +x)- 6=0 の解は (ア) である.
2001-12441-0204
複素数 z に対して, w= 2⁢z+ 1z+ 1 によって複素数 w を対応させることにする.次の問いに答えよ.
(ⅰ) w=i のとき, z を a+ b⁢i ( a ,b は実数)の形に表すと (イ) である.
(ⅱ) z が複素数平面上の単位円を動くとき, w=x+ y⁢i の軌跡を x , y の方程式で表すと, (ウ) である.
2001-12441-0205
数学I
放物線 y= x2 上の点 A( -1,1 ), B(2 ,4) をとる.この放物線上の動点 P (t ,t2 ) が -1 <t<2 の間を動くとき, ▵APB の面積の最大値を求めると, である.
2001-12441-0206
【2】 川向こうの 2 地点 P ,Q 間の距離を求めるため,同じ岸辺の 2 地点 A , B から測量して,次の結果を得た.
AB=100 m, ∠PAB= 105° ,∠QAB =45° ,∠ PBA=30 °, ∠QBA =90°
次の問いに答えよ.
(ⅰ) 距離 AP を求めよ.
(ⅱ) 距離 PQ を求めよ.
2001-12441-0207
数学II
2⁢log 2⁡( x+2) =log2 ⁡(10 -x) をみたす x の値を求めると, x= である.
2001-12441-0208
【2】 関数 f⁡ (x)= -x2 +x について次の問いに答えよ.
(ⅰ) 点 (-1 ,0) から曲線 y= f⁡(x ) に引いた 2 つの接線の方程式を求めよ.
(ⅱ) 前問で求めた 2 つの接線と曲線 y= f⁡(x ) とで囲まれた部分の面積を求めよ.
2001-12441-0209
数学III
f⁡(x ) が x= a で微分可能な関数であるとき,式
limh→ 0⁡ f⁡(a +3⁢h )-f⁡ (a+h )h
を f′ ⁡(a ) を用いて表すと, である.
2001-12441-0210
【2】 a1= 1, an+ 1= 9 -an 5- an , (n =1, 2, 3, ⋯) で定められた数列 { an } について,次の問いに答えよ.
(ⅰ) 2⁢a 2, 3⁢a3 , 4⁢a 4, 5⁢a 5 を求め,それから an を推定せよ.
(ⅱ) 上で推定した an の式が正しいことを,数学的帰納法を用いて証明せよ.