2001　東北学院大学　教養(言語),法学部MathJax

【１】　$a>0$とし，放物線$y=x^2$のグラフを$x$軸方向に$a^2\text{，}y$軸方向に$-2a^2$平行移動した曲線を$C_a$で表す．$C_a$と$x$軸の交点を$\mathrm{P}(p,0)\text{，}\mathrm{Q}(q,0)$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$p<q$とする．

(ⅰ)　$p\text{，}q$をそれぞれ$a$で表せ．

(ⅱ)　$a$が変化するとき，$p$のとりうる値の範囲を求めよ．

(ⅲ)　$\mathrm{O}$を原点とするとき，$\mathrm{OQ}$の長さが$\mathrm{OP}$の長さの$2$倍になるように，$a$の値を定めよ．

【２】　同じ大きさの白玉が$4$個と赤玉が$6$個ある．これらの玉を無作為に$1$列に並べるとき，次の確率を求めよ．

(ⅰ)　両端が白玉である確率

(ⅱ)　白玉は隣り合わない確率

(ⅲ)　赤玉が$4$個以上続けて並ぶ確率

【３】　$a$を正の定数とする．関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(a-t)(t+1)dt$

の極大値が$3a$のとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$の極小値を求めよ．

【４】　$a>0\text{，}a\ne 1$とする．不等式

${\log }_{a}2+{\log }_a(x+10)<2{\log }_a(2-x)$

を満たす$x$の範囲を求めよ．

【５】　等差数列$\{a_n\}$に対し，数列$\{b_n\}$を$b_n=a_n+a_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$で定める．

${\displaystyle \sum _{k=1}^{10}}{b}_k=260\text{，}{\displaystyle \sum _{k=11}^{20}}{b}_k=660$

であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$の初項$a$と公差$d$を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{k=16}^{25}}{b}_k$を求めよ．

【６】　空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,0,1)\text{，}\mathrm{B}(6,-2,1)\text{，}\mathrm{C}(5,0,3)$がある．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，実数$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{BC}}$と表すとき，${\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}^2$を$t$で表せ．

(ⅱ)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$の最小値を求めよ．

(ⅲ)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．