2001　東北学院大学　教養（情報），文学部MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=8\text{，}\mathrm{CA}=7$であるとき，次の値を求めよ．

(ⅰ)　$\cos B$

(ⅱ)　$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$

(ⅲ)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$

(ⅳ)　$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{BD}$の長さ

【２】　サイコロを$2$回投げ，$1$回目に出る目の数を$a\text{，}2$回目に出る目の数を$b$とし，$c=a-3\text{，}d=b-2$とする．放物線$C:y=x^2+2cx+d$の頂点を$\mathrm{P}$で表すとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{P}$の座標が$(1,1)$のとき，$a$と$b$の値を求めよ．

(ⅱ)　サイコロを$2$回投げるとき，$C$が$x$軸と共有点を持たない確率を求めよ．

(ⅲ)　サイコロを$2$回投げるとき，$0\leqq x\leqq 1$の範囲で$C$がつねに$x$軸より下側にある確率を求めよ．

【３】　曲線$y=|x^2-x-2|$と直線$y=3x-1$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　$a={\log }_{2}3\text{，}b={\log }_{3}2$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$0\text{，}1\text{，}a\text{，}b$を小さい方から順に並べよ．

(ⅱ)　${\log }_{2}a\text{，}{\log }_{3}a\text{，}{\log }_{2}b\text{，}{\log }_{3}b$を小さい方から順に並べよ．

【５】　$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{}_{n}C_k=2^n$を示せ．

(ⅱ)　$1\leqq k\leqq n$のとき${\displaystyle \frac{{}_{n}C_k}{{}_{n-1}C_{k-1}}}$を簡単にせよ．

(ⅲ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k\cdot {}_{n}C_k=n{2}^{n-1}$を示せ．

【６】

(ⅰ)　複素数$z$が$z+\bar{z}=2$を満たしているとき，$|z+2-i|$の最小値を求めよ．

【６】

(ⅱ)　${\left({\displaystyle \frac{2i}{1-\sqrt{3}i}}\right)}^{20}=a+bi$が成り立つように，実数$a\text{，}b$を定めよ．