2001　学習院大学　経済学部MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}x\text{，}y$が

$a+b=3\text{，}ab=1\text{，}x+y=4\text{，}xy=2$

を満たすとき

${(ax+by)}^3+{(ay+bx)}^3$

の値を求めよ．

【２】　正$20$面体の各面に，$1$から$20$までの数が$1$つずつ重複せずに書かれており，各面が同じ確からしさで出るさいころ（正$20$面体さいころ）を$2$回投げ，その結果によって下表のように得点が与えられるとする．たとえば，$1$回目に出た数が$m$より小さく，$2$回目に出た数が$m$以上のときは得点は$b$である．ただし，$m$は$2\leqq m\leqq 20$を満たす整数である．

(1)　$a=-2\text{，}b=8\text{，}c=12\text{，}d=6$のとき，得点の期待値を$m$で表せ．

(2)　$a=-2\text{，}b=8\text{，}c=12\text{，}d=6$のとき，得点の期待値を最大にする$m$を求めよ．

(3)　得点の期待値が$m$の値に関わらず一定のとき，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が満たすべき条件を求めよ．

【３】　自然数$a$と$b$の組$(a,b)$を次のような順序で一列に並べる．

$(1,1),(2,1),(1,2),(3,1),(2,2),(1,3),(4,1),(3,2),(2,3),(1,4),(5,1),\cdots$

たとえば，$8$番目に現れる組は$(3,2)$である．

(1)　$200$番目に現れる組は何か．

(2)　自然数の組$(m,n)$は何番目に現れるか．

【４】　$a>0\text{，}b>c>0$とし，放物線$y=-a(x+b)(x-c)$の第$1$象限内にある部分を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$から$x$軸，$y$軸におろした垂線と$x$軸，$y$軸で囲まれる長方形の面積を$S$とおく．また，$\mathrm{P}$での$C$の接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．

(1)　$S$を最大にする$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．

(2)　$S$が最大になるとき，$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{QR}$の中点であることを示せ．