2001　慶応義塾大学　看護医療学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数，式または文を解答欄に記入しなさい。

(1)　$\cos 105°=\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数，式または文を解答欄に記入しなさい。

(2)　$a+b=3\text{，}ab=1$のとき，$a^4+b^4=\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数，式または文を解答欄に記入しなさい。

(3)　数列$\{a_n\}$が$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=1+{\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$をみたしているとする．この数列の一般項は$a_n=\boxed{}$と求められる．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数，式または文を解答欄に記入しなさい。

(4)　$2$つの不等式$x^2-3x-4\leqq 0\text{，}{x}^3-x\geqq 0$を同時にみたす$x$の値の範囲は$\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数，式または文を解答欄に記入しなさい。

(5)　命題「$a\geqq 1$かつ$b\geqq 1$ならば，$ab\geqq 1$」の対偶を述べると，

「$\boxed{}$」

になる．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数，式または文を解答欄に記入しなさい。

(6)　方程式${\displaystyle \frac{a+\sqrt{3}}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}}=\sqrt{2}+\sqrt{6}$をみたす$a$を$2$重根号を使わずに表すと，$a=\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数，式または文を解答欄に記入しなさい。

(7)　方程式$|x-2|+|y-2|=1$で表される図形の内部の面積を求めると$\boxed{}$となる．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数，式または文を解答欄に記入しなさい。

(8)　$i$を虚数単位とし，複素数平面上の$3$点$z_1=-1+i\text{，}{z}_2=(\sqrt{3}-1)+2i\text{，}$実部を負の数とする$z_3$をとる．$3$つの点$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3$を頂点とする三角形が正三角形であるのは，$z_3=\boxed{}$のときである．

【２】　空間の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\sqrt{2},2)\text{，}\overrightarrow{b}=(\sqrt{3},1,-1)$に関する次の問いの答えを解答欄に記入しなさい．

(1)　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$のつくる角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(2)　$t$を実数とするとき，ベクトル$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$を成分で表せ．

(3)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{b}$が垂直になるような実数$t$の値を求めよ．

(4)　(3)で求めた$t$の値を$t_0$とするとき，${|\overrightarrow{a}+t_0\overrightarrow{b}|}^2$の値を求めよ．

(5)　(3)で求めた$t$の値を$t_0$とするとき，$n\leqq {|\overrightarrow{a}+t_0\overrightarrow{b}|}^2<n+1$をみたす整数$n$の値を求めよ．

【３】　$2$次関数$y=3x^2\text{（}x\geqq 0\text{）}$のグラフを$C_1$とし，$1$次関数$y=-2x\text{（}x\leqq 0\text{）}$のグラフを$C_2$とする．$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,3p^2)$と$C_2$上の点$\mathrm{Q}(q,-2q)$をとる．ただし，$p>0\text{，}q\leqq 0$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$C_1$と$x$軸，直線$x=p$とで囲まれた図形の面積を$p$で表せ．

(2)　$2$つの点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を結ぶ直線と$C_1\text{，}{C}_2$とで囲まれた図形の面積$S$を$p\text{，}q$で表せ．

(3)　$p\text{，}q$が$p-q=1$をみたすとき，(2)の$S$を最大にするような$p$の値，およびそのときの$S$の値を求めよ．

【４】　同じ形の赤玉$r$個，黒玉$b$個，白玉$w$個の合計$N$個が入っている袋から，玉を$1$個とり出して，その色を確認してから袋にもどすという試行を繰り返す．ただし，$r>0\text{，}b\geqq 0\text{，}w\geqq 0$とする．$b=0$のときは，はじめから黒玉は入っていないものと解釈し，また$w=0$のときは，はじめから白玉は入っていないものと解釈する．数直線上の点$\mathrm{P}$は原点から出発し，赤玉がとり出されると右に$1$だけ動き，黒玉がとり出されると右にも左にも動かず，白玉がとり出されると左に$1$だけ動くことにする．次の問いに答えなさい．ただし，$p={\displaystyle \frac{r}{N}}\text{，}q={\displaystyle \frac{b}{N}}\text{，}s={\displaystyle \frac{w}{N}}$とする．

(1)　$p=q={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}s=0$とする．玉を$k$回$\text{（}k\geqq 1\text{）}$とり出したとき，$k$回目に$\mathrm{P}$がはじめて座標$1$の位置にある確率を$k$で表せ．

(2)　$p=s={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}q=0$とする．玉を$6$回とり出したとき，$\mathrm{P}$が途中で座標$3$の位置に$1$度も到達しないで再び原点の位置にある確率を求めよ．

(3)　$p=q=s={\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．玉を$5$回とり出したとき，$5$回目に$\mathrm{P}$がはじめて座標$3$の位置にある確率を求めよ．