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【5】 会社はそれぞれ商品を初年度(年度)はトン,トン,トン生産する.また次年度以降には各会社は,トン当りの価格に生産量をかけて得られる売上から生産費用を差し引いて計算される利潤を最大にするように生産量を決定するものとする.ただし,次年度以降のそれぞれの会社の商品のトン当りの価格は前年度の他の社の商品の生産量の和に比例し,比例定数はとする.また生産費用はその年における自社の生産量の乗に比例し,比例定数はとする.年度のの生産量をそれぞれで表すとき,以下の問いに答えよ.
(1) のとき,年度の会社の利潤をを用いて表すと,である.また,年度の会社の生産量をを用いて表すと,で,社の生産量の和をを用いて表すと,である.
(2) のとき,をを用いて表すと,である.
(3) をそれぞれの式で表せ.