2001　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　$y=x^6-6x^5+5x^4+20x^3-17x^2-22x$とし，$t=x^2-2x$とする．

(1)　$x$が$-1\leqq x\leqq 2$の範囲を動くとき，$t$の動く範囲を求めると，

$\boxed{\text{(1)}\text{(2)}}\leqq t\leqq \boxed{\text{(3)}\text{(4)}}$

である．

(2)　$y$を$t$の関数として表すと，

$y=t^3+\boxed{\text{(5)}\text{(6)}}{t}^2+\boxed{\text{(7)}\text{(8)}}t$

である．

(3)　区間$-1\leqq x\leqq 2$のおける$y$の最小値，最大値を求めると，

$\text{最小値}=\boxed{\text{(9)}\text{(10)}\text{(11)}}\text{，}\text{最大値}=\boxed{\text{(12)}\text{(13)}}$

である．

【２】　点$\mathrm{A}(1,-1)$より円$C:{(x-3)}^2+{(y-1)}^2=4$に接線$l:ax+by=1\text{，}k:cx+dy=1$を引き，接線$l$と円$C$との接点を$\mathrm{D}\text{，}$接線$k$と円$C$との接点を$\mathrm{E}$とする．ただし，$a<c$とする．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を求めると，

$a=\boxed{\text{(14)}\text{(15)}}\text{，}b=\boxed{\text{(16)}\text{(17)}}$

$c=\boxed{\text{(18)}\text{(19)}}\text{，}d=\boxed{\text{(20)}\text{(21)}}$

である．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$のなす角は$\boxed{\text{(22)}\text{(23)}}$度である．

(3)　直線$l$上の点$\mathrm{X}$と直線$k$上の点$\mathrm{Y}$は，線分$\mathrm{XY}$が線分$\mathrm{DE}$と平行になり，かつ円$C$と共有点をもつように動くものとする．このとき$\left|\overrightarrow{\mathrm{XY}}\right|$が最小になるような点$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$を通る直線の方程式を求めると，

$y=\boxed{\text{(24)}\text{(25)}}x+\boxed{\text{(26)}\text{(27)}}-\sqrt{\boxed{\text{(28)}\text{(29)}}}$

である．また，このときの$\left|\overrightarrow{\mathrm{XY}}\right|$の値を求めると，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{XY}}\right|=\boxed{\text{(30)}\text{(31)}}+\sqrt{\boxed{\text{(32)}\text{(33)}}}$

である．

【３】　曲線$y=x^2(x-3)$と曲線$y=x^3-27$の共有点を求めると，

$(\boxed{\text{(34)}\text{(35)}},\boxed{\text{(36)}\text{(37)}\text{(38)}})\text{，}$

$(\boxed{\text{(39)}\text{(40)}},\boxed{\text{(41)}\text{(42)}\text{(43)}})$

である．ただし$\boxed{\text{(34)}\text{(35)}}$は正の数，$\boxed{\text{(39)}\text{(40)}}$は負の数である．

　また，この$2$つの曲線で囲まれた部分の面積を求めると，

$\boxed{\text{(44)}\text{(45)}\text{(46)}}$

である．

【４】　$Z$を整数全体の集合とし

$\mathrm{A}=\{(x,y)|{\log }_{2}y-{\log }_{\sqrt{2}}(x-20)\geqq 0,x\in \mathrm{Z},y\in \mathrm{Z}\}$

$\mathrm{B}=\{(x,y)|2^x-5^y\geqq 0,x\in \mathrm{Z},y\in \mathrm{Z}\}$

とおく．

$\mathrm{S}=\{x|(x,y)\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B}\text{となる}y\text{がある}\}$

$\mathrm{T}=\{y|(x,y)\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B}\text{となる}x\text{がある}\}$

とおくとき，$\mathrm{S}$の一番小さい要素は$\boxed{\text{(47)}\text{(48)}}\text{，}$一番大きい要素は$\boxed{\text{(49)}\text{(50)}}$であり，$\mathrm{T}$の一番小さい要素は$\boxed{\text{(51)}\text{(52)}}\text{，}$一番大きい要素は$\boxed{\text{(53)}\text{(54)}}$である．また集合$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}$に含まれる要素の個数$n(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})$を求めると，

$n(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=\boxed{\text{(55)}\text{(56)}}$

である．ここで${\log }_{10}2=0.3010$とする．

注意：$x$が集合$\mathrm{Z}$の要素であることを，$x\in \mathrm{Z}$と表す．

【５】　会社$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Z}$はそれぞれ商品を初年度（$1$年度）は$300$トン，$500$トン，$700$トン生産する．また次年度以降には各会社は，$1$トン当りの価格に生産量をかけて得られる売上から生産費用を差し引いて計算される利潤を最大にするように生産量を決定するものとする．ただし，次年度以降のそれぞれの会社の商品の$1$トン当りの価格は前年度の他の$2$社の商品の生産量の和に比例し，比例定数は$1$とする．また生産費用はその年における自社の生産量の$2$乗に比例し，比例定数は$1$とする．$n$年度の$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Z}$の生産量をそれぞれ$x_n\text{，}{y}_n\text{，}{z}_n$で表すとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 2$のとき，$n$年度の会社$\mathrm{X}$の利潤を$x_{n-1}\text{，}{y}_{n-1}\text{，}{z}_{n-1}\text{，}{x}_n\text{，}{y}_n\text{，}{z}_n$を用いて表すと，$\boxed{\text{ア}}$である．また，$n$年度の会社$\mathrm{X}$の生産量を$y_{n-1}\text{，}{z}_{n-1}$を用いて表すと，$\boxed{\text{イ}}$で，$3$社の生産量の和$x_n+y_n+z_n$を$x_{n-1}\text{，}{y}_{n-1}\text{，}{z}_{n-1}$を用いて表すと，$\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$x_n$を$x_{n-1}$を用いて表すと，$x_n=\boxed{\text{エ}}$である．

(3)　$x_n\text{，}{y}_n\text{，}{z}_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．

【６】　以下の式を満たす関数$f(x)$を求めよ．

$f(x)=3x^2{\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(t)dt+x{\displaystyle {\int }_0^1}{(f^{\prime }(t))}^{2}dt+{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt$

【７】　$\sqrt{2}\text{，}\sqrt{3}\text{，}\sqrt{6}$は無理数である．このことを用いて，次の命題を証明せよ．

「有理数$a\text{，}b$のうち少なくとも$1$つが$0$でないならば，$a\sqrt{2}+b\sqrt{3}$は無理数である．」