2001　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】

(1)　$y$軸上に点$\mathrm{A}(0,a)$をとり，放物線$y=x^2+3$上を動く点$\mathrm{B}(x,y)$について考える．

　線分$\mathrm{AB}$の長さは$a\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$のとき，$y=a-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$で最小となり，最小値は$\sqrt{a-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}}$である．また，$a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$のとき，$y=\boxed{\text{ケ}}$で最小となり，最小値は$|a-\boxed{\text{コ}}|$である．

【１】

(2)　不等式

$2^{3x+2}<{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{x^2-10x+4}$

が成り立つときの$x$の範囲は

$\boxed{\text{サ}}<x<\boxed{\text{シ}}$

である．

【１】

(3)　$2$つの正の整数$m$と$n$の最大公約数を$G\text{，}$最小公倍数を$L$とする．

$\{\begin{array}{l}{\log }_{3}L-{\log }_{3}G=2+3{\log }_{3}2\\ {\log }_{2}L+{\log }_{2}G=7+4{\log }_{2}3\end{array}$

が成り立つとき$G<m<n<L$として，$m$と$n$を求めると$\boxed{\text{ス}}$である．

【２】　数列$\{a_n\}$は各項が正の数で，とくに初項$a_1$は$2$である．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．

　すべての$n$に対して，

$2(S_{n+1}+S_n)={(S_{n+1}-S_n)}^2\cdots$(＊)

が成り立つとき，$S_2$の値は$\boxed{\text{ア}}\text{，}{S}_3$の値は$\boxed{\text{イ}}$である．また，すべての$n$に対して(＊)が成り立つ必要十分な条件は，$a_n=\boxed{\text{ウ}}$である．

【３】　空間に原点$\mathrm{O}\text{，}$および$2$点$\mathrm{A}(2,1,-2)\text{，}\mathrm{B}(3,4,0)$が与えられている．

　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の間の距離は$\sqrt{\boxed{\text{ア}}}\text{，}$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさは$\boxed{\text{イ}}\text{，}$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさは$\boxed{\text{ウ}}$である．また，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のつくる角を$\theta$とするとき，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$となり，三角形$\mathrm{AOB}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．

　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のどちらにも垂直で大きさが$\sqrt{5}$のベクトルを成分で表すと，$\boxed{\text{ケ}}$となる．

【４】　関数$y={(x-3)}^2+2$の表す曲線を$C$とし，曲線$C$と$y$軸との交点を$(0,a)\text{，}$曲線$C$上の点$\mathrm{B}(5,6)$における接線と$y$軸との交点を$(0,q)$とする．

　ここで，$y$軸上を$q<p<a$を満たしながら動く点$\mathrm{P}(0,p)$について考える．

(1)　直線$\mathrm{PB}$の傾きを$m$とする．直線$\mathrm{PB}$と曲線$C$の$2$つの交点のうち$\mathrm{B}$でない方の交点の$x$座標を$t$とし，$t$を$m$で表すと$\boxed{\text{ア}}\text{．}$

(2)　$0\leqq x\leqq t$の範囲で，$y$軸，曲線$C$および直線$\mathrm{PB}$によって囲まれる部分の面積と，$t\leqq x\leqq 5$の範囲で曲線$C$と直線$\mathrm{PB}$によって囲まれる部分の面積の和を$S$とする．$S$を$m$で表すと

$S=-{\displaystyle \frac{m^3}{\boxed{\text{イ}}}}+\boxed{\text{ウ}}{m}^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}m+\boxed{\text{カ}}$

となる．

(3)　$S$は$m=\boxed{\text{キ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}$のとき最小となり，そのときの$S$の値は

$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}-\frac{\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

である．