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【2】 平面上の有向線分を,振ったさいころの目に応じて移動させる.有向線分の始点は始め原点にあり,その向きは軸の正の向きである.回目に出た目がであるとき,有向線分の向きを軸に対して時計の針と反対向きに角度だけ変え,変えた向きにそって始点を長さだけ移動する.回目に出た目がであれば,回目で移動した有向線分の向きを,その向きに対して始点を中心に時計の針と反対向きに角度だけ変え,変えた向きにそって始点を長さだけ移動する.以下このようにして,振ったさいころの目に応じて有向線分の方向を変え,その始点を長さだけ移動させていく.
回さいころを振って有向線分を移動させたとき,有向線分の始点が原点にもどる確率をで表す.このとき
である.回さいころを振った結果,始点の原点からの距離がより大となる確率は
である.
【3-2】 方程式の近似解(解の近似値)を次の過程にしたがって求める.とし,曲線の点における接線と軸との交点をとすれば,である.同様に曲線の点における接線と軸との交点をとすれば,である.このようにして数列を定義すれば
となる.このとき数列はに近づく.
次のプログラムは上の考え方をもとに,方程式(は正の数)の近似解を求めるものである.ただし,から始めて,ととの誤差が以下となる近似解が得られたときに結果を印刷する.
100 INPUT
200 LET
= 0.00001
300 LET X = A
400 IF
(X * X - A) <= E THEN GOTO
500 LET
= (X + A / X) /
600 GOTO
700 PRINT
; "
は X * X - A = 0
の近似解 "
800 STOP
900 END
選択肢
100
200
300
400
500
600
700
800
900
X
A
B
E
ABS
LET
MOD
SQR
INT
INPUT
*
1
2
3
4
5
によって数列を定義する.このとき,次の命題が成立する.
がの倍数ならばもの倍数であり,その逆も成立する.
以下この命題を次の数学的帰納法を用いて証明する.
数学的帰納法:命題が以上のすべての整数に対して成立することを示すには,以下を示せばよい.
が成立する.
なるすべての整数に対してが成立するならばが成立する.
命題の証明:は明らかである.を示す.
まず,がの倍数ならばもの倍数であることを証明する.としてよい.帰納法の仮定としてなるの倍数に対してがの倍数であるとする.このとき等式
の右辺の第項は仮定によっての倍数である.よってはの倍数である.
つぎに,がの倍数ならばもの倍数であることを証明する.は以上であり,がの倍数であると仮定する.帰納法の仮定として,なる整数に対してがの倍数ならばもの倍数であるとする.上式によればはの倍数である.よってはの倍数であり,したがってはの倍数となる.
(2) 数列を(1)で定義されたものとする.このときである.
【5】 空欄からの解答欄には最後の選択肢から最も適切な式を選び,その番号を記入しなさい.空欄との解答欄には解答の数字を記入しなさい.
疾病の保菌者は人に人の割合である.回の異なる検査で保菌者を発見したい.回目の検査方法では確率で保菌者を保菌者と,非保菌者を非保菌者と正しく判定でき,回目の検査方法では確率で同様に判定できる.ただし,回目の検査で陽性(保菌)と判定された者のみが,回目の検査を受けることにする.いま,万人がこの診断を受けることになった.
(1) 回目の検査で陽性と判定される人数の期待値は万人である.
(2) 保菌者でないにもかかわらず,回の検査とも陽性と判定される人数の期待値は万人である.
(3) 保菌者にもかかわらず,この診断で非保菌者と判定される人数の期待値は万人である.
(4) としたとき,(3)の期待値を人以下にするためには,を
以上にする必要がある.
選択肢
(11) | (12) | (13) |
(14) | (15) | (16) |
(17) | (18) | (19) |
(20) | (21) | (22) |
(23) | (24) | (25) |
(26) | (27) | (28) |
(29) | (30) |