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2001 慶応義塾大学 総合政策学部

易□ 並□ 難□

【1】

(1) 条件 p q に関し,次の 1 4 から最も適する番号を選んで答えなさい.

1.  p q であるための必要条件であり,十分条件でない.

2.  p q であるための十分条件であり,必要条件でない.

3.  p q であるための必要十分条件である.

4. 上のいずれでもない.

(a)  x y が実数のとき

px+ y は無理数である.

qx または y は無理数である.

(答) 

(b) 平面上の異なる 4 A B C D において

pA B C D は同一円周上にある.

q ACB= ADB

(答) 

(c) 

pb はベクトル a =(2 ,5) に垂直な大きさ 3 のベクトルである.

qb =( -5, 2)

(答) 

(d)  x を正の数とするとき

plog 2x log2 |x -1 |

q3 xx+ 1

(答) 

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【1】

(2)  2 次関数 y=- 3x2 +12 x-7 y= 3x2 のグラフを x 軸の方向に だけ移動し, x 軸に対称に折り返し,さらに y 軸の方向に だけ移動したものである.

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【1】

(3)  |x2 -x-6 | =4x 2 の解は

x=

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【2】  xy 平面上の有向線分を,振ったさいころの目に応じて移動させる.有向線分の始点は始め原点 O にあり,その向きは x 軸の正の向きである. 1 回目に出た目が a であるとき,有向線分の向きを x 軸に対して時計の針と反対向きに角度 60 a° だけ変え,変えた向きにそって始点を長さ 1 だけ移動する. 2 回目に出た目が b であれば, 1 回目で移動した有向線分の向きを,その向きに対して始点を中心に時計の針と反対向きに角度 60 b° だけ変え,変えた向きにそって始点を長さ 1 だけ移動する.以下このようにして,振ったさいころの目に応じて有向線分の方向を変え,その始点を長さ 1 だけ移動させていく.

  n 回さいころを振って有向線分を移動させたとき,有向線分の始点が原点にもどる確率を P (n) で表す.このとき

P(1 )=0 P( 2)= P(3 )= P(4 )=

である. 3 回さいころを振った結果,始点の原点からの距離が 1 より大となる確率は

である.

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【3-2】との選択

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【3-1】 複素数平面において, 2 A( z1) B( z2) からの距離の比が 3: 1 である点 P (z) が中心 ( 72 ,0 ) 半径 32 の円を描くとする.このとき点 A

中心 ( ,0 ) 半径

の円周上にある.また z2 が実数のとき, z1 または である.

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【3-1】との選択

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【3-2】 方程式 x2 -9= 0 の近似解(解の近似値)を次の過程にしたがって求める. a1 =1 とし,曲線 f (x)= x2- 9 の点 ( a1, f( a1 )) における接線と x 軸との交点を a2 とすれば, a2 = である.同様に曲線 f (x) =x2 -9 の点 ( a2, f( a2 )) における接線と x 軸との交点を a3 とすれば, a3 = である.このようにして数列 an を定義すれば

an+ 1= an- an2 - an n =1 2 3

となる.このとき数列 an 3 に近づく.

 次のプログラムは上の考え方をもとに,方程式 x2 -A=0 A は正の数)の近似解を求めるものである.ただし, a1 =A から始めて, an 2 A との誤差が 0.00001 以下となる近似解が得られたときに結果を印刷する.

100 INPUT

200 LET = 0.00001

300 LET X = A

400 IF (X * X - A) <= E THEN GOTO

500 LET = (X + A / X) /

600 GOTO

700 PRINT ; " X * X - A = 0 の近似解 "

800 STOP

900 END

選択肢



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【4】(1) 

F0 =0 F1 =1 Fn =Fn -1+ Fn- 2 n 2

によって数列 {Fn } を定義する.このとき,次の命題が成立する.

P(n )n 5 の倍数ならば Fn 5 の倍数であり,その逆も成立する.

 以下この命題を次の数学的帰納法を用いて証明する.

数学的帰納法:命題 P (n) 0 以上のすべての整数 n に対して成立することを示すには,以下を示せばよい.

[I]  P(0 ) が成立する.

[II]  0k n-1 なるすべての整数 k に対して P (k) が成立するならば P (n) が成立する.

命題 P (n) の証明: [I] は明らかである. [II] を示す.

 まず, n 5 の倍数ならば Fn 5 の倍数であることを証明する. n5 としてよい.帰納法の仮定として 0 kn- 1 なる 5 の倍数 k に対して Fk 5 の倍数であるとする.このとき等式

Fn =5 Fn- + F n- <

の右辺の第 2 項は仮定によって 5 の倍数である.よって Fn 5 の倍数である.

 つぎに, Fn 5 の倍数ならば n 5 の倍数であることを証明する. n 5 以上であり, Fn 5 の倍数であると仮定する.帰納法の仮定として, 0k n-1 なる整数 k に対して Fk 5 の倍数ならば k 5 の倍数であるとする.上式によれば F n- 5 の倍数である.よって n- 5 の倍数であり,したがって n 5 の倍数となる.

(2) 数列 {Fn } を(1)で定義されたものとする.このとき F 20= である.

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【5】 空欄 から の解答欄には最後の選択肢から最も適切な式を選び,その番号を記入しなさい.空欄 の解答欄には解答の数字を記入しなさい.

 疾病 A の保菌者は x 人に 1 人の割合である. 2 回の異なる検査で保菌者を発見したい. 1 回目の検査方法では確率 p 0<p< 1 で保菌者を保菌者と,非保菌者を非保菌者と正しく判定でき, 2 回目の検査方法では確率 q 0 <q<1 で同様に判定できる.ただし, 1 回目の検査で陽性(保菌)と判定された者のみが, 2 回目の検査を受けることにする.いま, 1 万人がこの診断を受けることになった.

(1)  1 回目の検査で陽性と判定される人数の期待値は ( p x+ ) 万人である.

(2) 保菌者でないにもかかわらず, 2 回の検査とも陽性と判定される人数の期待値は 万人である.

(3) 保菌者にもかかわらず,この診断で非保菌者と判定される人数の期待値は 万人である.

(4)  x=100 p=q としたとき,(3)の期待値を 1 人以下にするためには, p

以上にする必要がある.

選択肢

(11)  xp (12)  px (13)  xq
(14)  qx (15)  xp q (16)  p qx
(17)  (x-1 )(1 -p) (1-q ) (18)  (x-1 )p q (19)  (x-1 )(1 -p) x
(20)  (x-1 )p (1-q ) (21)  (x-1 )(1 -p) (1-q )x (22)  ( x-1) pq x
(23)  ( x-1) (1- p)x (24)  ( x-1) p( 1-q) x (25)  (1-p q) x
(26)  ( 1-p q)x (27)  ( 1-p) (1- q)x (28)  x(1 -p) q
(29)  xp (1-q ) (30)  x(1 -pq )
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