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【2】 設問(1),(2)では,文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。また,設問(3)に答えなさい.
数直線上の点の集合上を,つの粒子が次のように運動する.
粒子は,時刻において点を占めている.その後,秒ごとに確率ずつで数直線上を正の方向か負の方向にだけ移動する.ただし,粒子が点を占めた場合は,秒後には必ず点に移動し,点を占めた場合は,秒後には必ず点に移動する.
一方,粒子は,時刻において点を占めている.その後,粒子とは独立に,粒子の運動と同じ確率的規則に従って上を運動する.
以下,を自然数とする.
(1) 粒子が,時刻(秒)において点を占める確率をで表すと,であり,一般に,である.
(2) つの粒子が,時刻(秒)においてともに点を占める確率をで表すと,である.
(3) つの粒子が,ともに点を占める初めての時刻が(秒)である確率を求めなさい.