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2001-13363-0101
2001 上智大学 法(地球環境法),
外国語学部
2月6日実施
易□ 並□ 難□
【1】 あ , い , う , え には,下の選択肢 A ,B ,C ,D より正しいものを 1 つ選べ.
(1) F⁡(x )=2⁢ x3- 7⁢x+ 1 は F′ ⁡(x )=6⁢ x2- 7 かつ F⁡ (1)= -4 であるための あ .
(2) x≧0 は
log2⁡ (x+1 )-log2 ⁡(2 ⁢x+3 )+log2 ⁡(x+ 4)≧1
であるための い .
(3) 3 次関数 f⁡ (x)= x3- 3⁢x 2+7 は x= ア のとき極大値 イ をとり, x= ウ のとき極小値 エ をとる.このことから,条件 4< a<7 は 3 次方程式
x3- 3⁢x2 +7- a=0
が 3 個の異なる実数解をもつための う.
(4) 3 つの直線
x-3y =a
2⁢x+ 4⁢y= b
-3⁢x -y=c
を考える.このうちの 2 直線
x-3⁢ y=a
の交点を a ,b で表すと
(x,y) =( オ カ ⁢a + キ ク ⁢b , ケ コ ⁢a + サ シ ⁢b )
となる.したがって,条件 a+ b+c= 0 は,上の 3 直線が 1 点で交わるための え .
選択肢:
2001-13363-0102
【2】 f⁡(x )=x 3+a ⁢x2 +b⁢ x+c とおく. y=f⁡ (x) のグラフは次の条件(A),(B)を満たすとする.
l:y= -2⁢x +4
このとき,条件(A)より f⁡ (1)= ス , f′ ⁡(1 )= セ であるから, b ,c を a で表すと,
b= ソ⁢ a+ タ , c= チ⁢ a+ ツ
となる.ここで, g⁡(x )=f⁡ (x)- (-2⁢ x+4) とおく. g⁡(x ) は ( x- テ ) 2 で割り切れるので,その商を x+ d とおくと
g⁡(x )= (x- テ ) 2⁢( x+d)
と表せる.条件(B)より d= ト であるので, a= ナ , b= ニ ,c= ヌ である.
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【3】 xy 平面上の不等式
{ x≧0 y≧0 x2 +y2 ≦25
で表される領域を D とする. xy 平面上の格子点とは, x 座標と y 座標がともに整数である点とする.このとき, D の境界上には ネ 個の格子点があり,また, D の境界を除いた内部には ノ 個の格子点がある.
サイコロをふり,原点 O( 0,0 ) から始めて,出た目の数だけ D の境界上の格子点を反時計まわりに進む.サイコロを 2 回ふって到達した点を P とする.このとき線分 OP 上の格子点の数を n⁡ (P) とする.たとえば, P が (3 ,0) のときは n ⁡(P) =4 である.
n⁡(P ) の最小値は ハ ,n⁡ (P) の最大値は ヒ である.また, n⁡( P) が最小となる確率は フ ヘ , 最大となる確率は ホ マ である.さらに, n⁡( P)=3 となる確率は ミ ム であり, n⁡( P) の期待値は メ モ である.