2001　上智大学　文，法学部2月8日実施MathJax

【１】

(1)　${\sin }^3\theta -3\sin \theta {\cos }^2\theta +2{\cos }^3\theta =0$をみたす$\theta$は$0°\leqq \theta \leqq 180°$の範囲に$2$つあり，それを${\theta }_1\text{，}{\theta }_2\text{（}{\theta }_1<{\theta }_2\text{）}$とすると，

$\sin {\theta }_1={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}\sin {\theta }_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

である．

【１】

(2)　${\displaystyle \frac{4^x-4^{-x}}{2^x+2^{-x}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，

$x={\log }_2(\boxed{\text{カ}}+\sqrt{\boxed{\text{キ}}})-2$

である．

【１】

(3)　整式$f(x)=x^{2001}-2001x$を$x^3+x^2$で割った余りを$a{x}^2+bx+c$とする．これを以下のようにして求める．

$f(x)=(x^3+x^2)g(x)+a{x}^2+bx+c$

とおく．まず$f(0)=0$より，$c=\boxed{\text{ク}}$であるので，この両辺を$x$で割って

(＊)　$x^{2000}-2001=(\boxed{\text{ケ}}{x}^2+\boxed{\text{コ}}x)g(x)+ax+b$

を得る．$x=0$を(＊)の両辺に代入して$b=\boxed{\text{サ}}\times 1000+\boxed{\text{シ}}$を得る．次に$x=-1$を(＊)に代入して

$\boxed{\text{ス}}a+b=\boxed{\text{セ}}\times 1000$

を得る．よって$a=\boxed{\text{ソ}}$である．

【２】　$xy$平面内の$4$点$\mathrm{A}(4,0)\text{，}\mathrm{B}(3,5)\text{，}\mathrm{C}(0,3)\text{，}\mathrm{D}(-1,0)$を頂点とする四角形$\mathrm{ABCD}$で囲まれる領域を$K$とする．ただし，$K$は境界を含むとする．$xy$平面上の点$\mathrm{P}$に対する関係式

(☆)　${\mathrm{PA}}^2-{\mathrm{PB}}^2+{\mathrm{PC}}^2-{\mathrm{PD}}^2=2k$

を考える．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　この関係式をみたすすべての点$\mathrm{P}(x,y)$が作る図形は直線

$l:\boxed{\text{タ}}x+\boxed{\text{チ}}y=5+k$

である．

(2)　$k=0$のとき，直線$\boxed{\text{タ}}x+\boxed{\text{チ}}y=5$と領域$K$の共有点の中で$x$座標が最小の点は${\mathrm{P}}_1({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}})$であり，最大の点は${\mathrm{P}}_2({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}},\boxed{\text{ネ}})$である．

(3)　直線$l$が点$\mathrm{A}$を通るのは，$k=\boxed{\text{ノ}}$のときであり，点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を通るのはそれぞれ，$k=\boxed{\text{ハ}}\text{，}\boxed{\text{ヒ}}\text{，}\boxed{\text{フ}}$のときである．

(4)　関係式(☆)をみたす点が領域$K$に存在するための必要十分条件は

$\boxed{\text{ヘ}}\leqq k\leqq \boxed{\text{ホ}}$

である．

【３】　関数$f(x)=x(x-1)(x-b)$は$x=\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$で極値をとるものとする．このとき

$\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}(b+\boxed{\text{ム}})\text{，}\alpha \beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}b$

である．よって，

${\alpha }^2+{\beta }^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}(\boxed{\text{ヨ}}{b}^2+b+\boxed{\text{ラ}})$

を得る．$|f(\alpha )|=|f(\beta )|$であるならば，$f(\alpha )+f(\beta )=\boxed{\text{リ}}$であり，$b=\boxed{\text{ル}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{レ}}}{\boxed{\text{ロ}}}}\text{，}\boxed{\text{ワ}}$（ただし$\boxed{\text{ル}}<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{レ}}}{\boxed{\text{ロ}}}}<\boxed{\text{ワ}}$）を得る．$b=\boxed{\text{ル}}$のとき$\beta ={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヲ}}}}{\boxed{\text{ン}}}}$である．