2001　上智大学　文(心理)学部2月9日実施MathJax

【１】

(1)　$\boxed{\text{あ}}\text{，}\boxed{\text{い}}$には，下の選択肢(a)，(b)，(c)，(d)から正しいものを選べ．

(ⅰ)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は定数で，$a<b\text{，}c<d$とする．二つの不等式$a<x<b\text{，}c<x<d$を同時にみたす実数$x$が存在するためには，$c<b$であることは$\boxed{\text{あ}}\text{．}$

(ⅱ)　$m$を自然数とする．$m^2$を$7$で割ると余りが$1$であることは，$m$を$7$で割ると余りが$1$となるための$\boxed{\text{い}}\text{．}$

選択肢：

• (a)　必要十分条件である
• (b)　必要条件ではあるが十分条件ではない
• (c)　十分条件ではあるが必要条件ではない
• (d)　必要条件でも十分条件でもない

【１】

(2)　座標平面上の$4$点${\mathrm{P}}_1(1,5)\text{，}{\mathrm{P}}_2(t,2t^2+15)\text{，}{\mathrm{P}}_3(3,1)\text{，}{\mathrm{P}}_4(-1,17)$を通る$2$次関数$y=a{x}^2+bx+c$のグラフが存在するような$t$は二つあり，それらを$t_1<t_2$とすると，$t_1=\boxed{\text{ア}}\text{，}{t}_2=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】

(3)　$f(x)$は$x$の$5$次式で$x^5$の係数は$1$である．$f(x)$が

$f(x^4)-7={(f(x)-7)}^4$

をみたすならば，

$f(x)=x^5+\boxed{\text{ウ}}{x}^4+\boxed{\text{エ}}{x}^3+\boxed{\text{オ}}{x}^2+\boxed{\text{カ}}x+\boxed{\text{キ}}$

である．

【１】

(4)　座標平面上の半径$\sqrt{14}$の二つの円$C_1\text{，}{C}_2$は異なる$2$点で交わり，その$2$点はそれぞれ，

$\mathrm{A}=\{(-1,y)||y|\leqq 1\}$

および

$\mathrm{B}=\{(1,y)||y|\leqq 1\}$

上にあって，$C_1$の中心を$(x_1,y_1)\text{，}{C}_2$の中心を$(x_2,y_2)$とすれば，$y_1>y_2$が成立しているとする．

(ⅰ)　$C_1\text{，}{C}_2$の交点が$(-1,-{\displaystyle \frac{1}{4}})\text{，}(1,{\displaystyle \frac{1}{4}})$であるとき，

$x_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}\text{，}{y}_1=\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$

である．

(ⅱ)　二つの交点がそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$上にあるように$C_1\text{，}{C}_2$が動くとき，$y_1$の最大値は$\boxed{\text{ス}}$である．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=15\text{，}\mathrm{BC}=20\text{，}\angle B=60°$である．点$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$を出発して辺$\mathrm{AB}$上を毎秒$1$の速さで$\mathrm{B}$に向い，点$\mathrm{Q}$は点$\mathrm{P}$と同時に$\mathrm{B}$を出発して辺$\mathrm{BC}$上を毎秒$2$の速さで$\mathrm{C}$に向かって進むものとする．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が同時に出発してからの時間を$t$秒とし，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{C}$に到達するまでを考える．

(1)　三角形$\mathrm{PBQ}$が正三角形となるのは，$t=\boxed{\text{セ}}$のときである．

(2)　三角形$\mathrm{PBQ}$の面積が最大となるのは，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$のときである．

(3)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$との距離が最小となるのは，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$のときである．

(4)　三角形$\mathrm{PBQ}$の外接円の半径が$\sqrt{39}$となるのは，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$と$t=\boxed{\text{ナ}}$のときである．ただし${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}<\boxed{\text{ナ}}$である．

【３】　立方体$\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$がある．ここで，正方形$\mathrm{ABCD}\text{，}\mathrm{EFGH}$は平行な面で，$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$はそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$と辺でむすばれており，また，頂点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{D}$が頂点$\mathrm{A}$と辺でむすばれている．点$\mathrm{P}$は時刻$t$においてこの立方体のいずれかの頂点にあって，時刻$t+1$には等しい確率で，その頂点と辺でむすばれた$3$つの頂点のいずれかに動くものとする．ただし，時刻$0$には点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$にある．

(1)　$t=2$において，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$であり，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

(2)　$t=3$において，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{G}$にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$であり，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$である．

(3)　$t=5$において点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{G}$にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}$である．