2001　上智大学　経済(経営)学部2月9日実施MathJax

【１】

(1)　$\alpha =\cos 100°-i\sin 100°\text{，}$ただし$i$は虚数単位，とおく．${\alpha }^k=1$となる最小の正の整数$k$は$\boxed{\text{ア}}$である．${({\alpha }^l)}^3=-1$かつ$0<l<\boxed{\text{ア}}$をみたす整数$l$は$\boxed{\text{イ}}<\boxed{\text{ウ}}<\boxed{\text{エ}}$の$3$個である．

【１】

(2)　$3x^2+2x-4$で割り切れ，$x^3$の係数が$6$である$3$次式を$P(x)$とする．$P(x)$を$(2x-1)(x+a)$で割った余りが$2x-1$ならば，$a=\boxed{\text{オ}}$または$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．ただし，$\boxed{\text{オ}}<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$とする．

【１】

(3)　座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{P}(a,b)$を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の円を$C_{\mathrm{P}}\text{，}$点$\mathrm{Q}(a-b,a+b)$を中心とする半径$1$の円を$C_{\mathrm{Q}}$とする．$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上を動くとき，$C_{\mathrm{P}}$と$C_{\mathrm{Q}}$の二つの交点を通る直線は，$\mathrm{O}$を中心とする半径${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$の円につねに接する．

【２】　座標平面上の円$C_1:x^2+y^2=1$と放物線$C_2:y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+2$を考える．

(1)　点$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{3}{5}},{\displaystyle \frac{4}{5}})$における$C_1$の接線の方程式は$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$である．

(2)　$C_1$上の点$\mathrm{P}(s,t)$が$s\geqq 0$かつ$t\geqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$の範囲を動くとき，$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と$C_2$とで囲まれる部分の面積は$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$のときに最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$をとり，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$のときに最大値をとる．

【３】　二辺の長さがそれぞれ$8\text{，}6$で，一つの角が$45°$の三角形で互いに合同でないものは$\boxed{\text{ナ}}$通りある．それらのうち面積が最大のものを$T$とする．$T$の面積は

$\boxed{\text{ニ}}+\boxed{\text{ヌ}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}$

であり，$T$の残りの一辺の長さは

$\boxed{\text{ノ}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}+\boxed{\text{ヒ}}\sqrt{\boxed{\text{フ}}}$

である．ただし，$\boxed{\text{ハ}}<\boxed{\text{フ}}$とする．

【４】　赤，青，黄，白のカードが$5$枚ずつあり，同じ色の$5$枚のカードには$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}e$の異なる文字が一つずつ書かれている．これら$20$枚のカードから$4$枚を同時に取り出す．

(1)　取り出した$4$枚のカードの色がすべて異なり，書かれている文字もすべて異なっている場合は$\boxed{\text{ヘ}}$通りある．

(2)　取り出した$4$枚のカードの色が赤と白の$2$色である場合は$\boxed{\text{ホ}}$通りある．

(3)　取り出した$4$枚のカ−ドの色が$2$種類であり，書かれている文字が$3$種類である場合は$\boxed{\text{マ}}$通りある．