2001　上智大学　法(法律)学部2月10日実施MathJax

　実数$x$に対して記号$x_{+}$を$x\geqq 0$ならば$x_{+}=x\text{，}x<0$ならば$x_{+}=0$と定義する．たとえば$3_{+}=3\text{，}{(-2)}_{+}=0$である．

(1)　任意の実数$x$に対して

$x_{+}-{(-x)}_{+}=\boxed{\text{ア}}x$

が成り立つ．

(2)　実数$x$に対して

$x+{(x-1)}_{+}-{(1-x)}_{+}+{(x-2)}_{+}$

$=\{\begin{array}{ll}\boxed{\text{イ}}x+\boxed{\text{ウ}}& x\geqq \boxed{\text{カ}}\text{のとき}\\ \boxed{\text{エ}}x+\boxed{\text{オ}}& x<\boxed{\text{カ}}\text{のとき}\end{array}$

が成り立つ．

(3)　実数$x\text{，}y\text{，}z$に対して

$N=x+{(y-x+{(z-y)}_{+})}_{+}$

とおく．

　$y\geqq z$ならば$N=x+{(\boxed{\text{あ}})}_{+}$であり，このとき，さらに$x\geqq y$ならば$N=\boxed{\text{い}}$であり，$x<y$ならば$N=\boxed{\text{う}}$である．

　次に$y<z$のときは，$N=x+{(\boxed{\text{え}})}_{+}$であり，このとき，さらに$x\leqq z$ならば$N=\boxed{\text{お}}\text{，}x>z$ならば$N=\boxed{\text{か}}$である．

　ゆえにすべての$x\text{，}y\text{，}z$に対して$N$は$\boxed{\text{き}}\text{．}$

選択肢(A)：

• $\text{①}$　$x$
• $\text{②}$　$y$
• $\text{③}$　$z$
• $\text{④}$　$x+y$
• $\text{⑤}$　$y+z$
• $\text{⑥}$　$z+x$
• $\text{⑦}$　$x-y$
• $\text{⑧}$　$y-x$
• $\text{⑨}$　$y-z$
• $\text{⑩}$　$z-y$
• $\text{⑪}$　$z-x$
• $\text{⑫}$　$x-z$

選択肢(B)：

• $\text{①}$　$x\text{，}y\text{，}z$の中の最大のものに一致する
• $\text{②}$　$x\text{，}y\text{，}z$の中の最小のものに一致する
• $\text{③}$　$z$に一致する
• $\text{④}$　$x+y+z$に一致する
• $\text{⑤}$　$2x-2y+z$に一致する

　$0°<\alpha \leqq 15°$とする．$i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}6$に対して

${\theta }_i=\alpha +30°\times (i-1)$

とおき，さらに

${\lambda }_i={\displaystyle \frac{\cos {\theta }_i}{\sin {\theta }_i}}$

とする．

(1)　$i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}5$に対して${\mu }_i={\displaystyle \frac{1+{\lambda }_i{\lambda }_6}{{\lambda }_i-{\lambda }_6}}$とするとき，

${\mu }_1=\boxed{\text{く}}\text{，}{\mu }_2=\boxed{\text{け}}\text{，}{\mu }_3=\boxed{\text{こ}}\text{，}{\mu }_4=\boxed{\text{さ}}\text{，}{\mu }_5=\boxed{\text{し}}$

である．

(2)　$1+{\lambda }_i{\lambda }_j=0$となる組$(i,j)$は

$(\boxed{\text{キ}},\boxed{\text{ク}})\text{，}(\boxed{\text{ケ}},\boxed{\text{コ}})\text{，}(\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}})$

である．ただし$1\leqq i<j\leqq 6$であり$\boxed{\text{キ}}<\boxed{\text{ケ}}<\boxed{\text{サ}}$とする．

選択肢：

$C:y=2x^2-4ax+3a^2+6a+11$

(1)　$C$は放物線$y=\boxed{\text{ス}}{x}^2$を平行移動し，頂点が点

$(a,\boxed{\text{セ}}{a}^2+\boxed{\text{ソ}}a+\boxed{\text{タ}})$

になるようにして得られる．したがって$a$がすべての実数を動くとき，放物線$C$の頂点の軌跡は放物線

$K:y=\boxed{\text{セ}}{x}^2+\boxed{\text{ソ}}x+\boxed{\text{タ}}$

である．

(2)　$a=0$のとき，放物線$K$と$C$とで囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{チ}}$である．

(3)　点$(x_1,y_1)$が放物線$C$上にあることは，$a$が，

$3a_2+(\boxed{\text{ツ}}{x}_1+\boxed{\text{テ}})a+\boxed{\text{ト}}{x_1}^2+\boxed{\text{ナ}}-y_1=0$

をみたすことと同値である．したがって，点$(x_1,y_1)$が

$y_1\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}{x_1}^2+\boxed{\text{ネ}}{x}_1+\boxed{\text{ノ}}$

をみたすならば，点$(x_1,y_1)$を通る放物線$C$がある．また

$y_1<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}{x_1}^2+\boxed{\text{ネ}}{x}_1+\boxed{\text{ノ}}$

ならば，この点を通る放物線$C$はない．