2001　上智大学　経済(経済)2月12日実施MathJax

【１】

(1)　$2$次方程式$x^2+mx+144=0$の解はすべて整数である．このとき$m$のとりうる値は全部で$\boxed{\text{ア}}$通りである．またその中で$|m|$の最小値は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】

(2)　複素数$z$は次の$3$つの条件をみたしている．

$z\bar{z}={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{z-\bar{z}}{i}}>0\text{，}$

${|z-2i|}^2+{|z-1|}^2+{|z+2i|}^2=10$

ただし，$i$は虚数単位である．このとき$z$の偏角を$\theta \text{（}0°\leqq \theta <360°\text{）}$とすると

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

【１】

(3)　サイコロを$2$回振り，最初に出た目を$a_1\text{，}$次に出た目を$a_2$とし，$N=36a_1+a_2$とおく．$N$が$5$で割って$2$余る数となる場合の数は$\boxed{\text{オ}}$通りである．

【１】

(4)　$3$辺の長さが$1\text{，}x\text{，}{\displaystyle \frac{x+1}{2}}$（ただし$x>1$）である三角形$T$がある．$T$の$3$つの角の大きさのうち最大のものを$\theta$とすると，

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}{x}^2+\boxed{\text{キ}}x+\boxed{\text{ク}}}{4}}$

であり，$T$が鋭角三角形となるような$x$の範囲は$1<x<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}=(3,-1)\text{，}\overrightarrow{b}=(1,3)$とする．

(1)　$\overrightarrow{c}=(3,4)$とすると，$\overrightarrow{c}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\overrightarrow{b}$である．

(2)　$2$点$(3,4)\text{，}(13,-6)$を通る直線上の点$\mathrm{L}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$を$r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}$と表すとき，$r\text{，}s$の間には関係式$r+\boxed{\text{ソ}}s={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$が成り立つ．

(3)　点$\mathrm{P}$にたいして，その位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$t\overrightarrow{a}+u\overrightarrow{b}$と表す．$(t,u)$が連立不等式

$t\geqq 0\text{，}u\geqq 0\text{，}1\leqq t+u\leqq 2$

の表す領域を動くとき，$\mathrm{P}$のえがく図形を$D$とする．$D$の面積は$\boxed{\text{ツ}}$である．また，$\mathrm{P}$が$D$を動くとき$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値は$\sqrt{\boxed{\text{テ}}}$であり，最大値は$\boxed{\text{ト}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$である．

【３】　連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\geqq x^2+2x\\ 12x-3y+26\geqq 0\\ |x|\leqq 2\end{array}$

の表す座標平面上の領域を$A$とする．

(1)　$A$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．

(2)　$k$を定数とする．$(x,y)$が$A$を動くとき$y+kx$の最大値は

$k\leqq \boxed{\text{ネ}}\text{のとき}\boxed{\text{ノ}}k+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}\text{，}$

$k\geqq \boxed{\text{ネ}}\text{のとき}\boxed{\text{フ}}k+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$

である．また，$y+kx$の最小値は

$k\leqq \boxed{\text{マ}}\text{のとき}\boxed{\text{ミ}}k+\boxed{\text{ム}}\text{，}$

$\boxed{\text{マ}}\leqq k\leqq \boxed{\text{メ}}\text{のとき}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}{k}^2+\boxed{\text{ユ}}k+\boxed{\text{ヨ}}\text{，}$

$k\geqq \boxed{\text{メ}}\text{のとき}\boxed{\text{ラ}}k+\boxed{\text{リ}}$

である．