2001 上智大学 理工(数・物・電)学部MathJax

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2001 上智大学 理工学部

数・物理・電気電子工学科

易□ 並□ 難□

【1】 座標平面において y x2 y- (x- a)2 -a+6 を同時に満たす領域を T その面積を S とする.

(1)  T が空集合でないのは

- a +

のときである.このとき, T に含まれる点の x 座標の最小値を α 最大値を β とすると

S= (β -α)

が成り立つ.

(2)  S が最大となるのは a= のときである.

(3)  x 座標, y 座標が共に整数である点を格子点と呼ぶ. a= のとき, T に含まれる格子点の個数は である.

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数・物理・電気電子工学科

易□ 並□ 難□

【2】 半径 1 の円に内接する正 2 n 角形を底面とする正 2 n 角柱を考える.底面の正 2 n 角形の頂点を順に A 0 A1 A2 n-1 とする.

  A0 から出発して底面と常に角度 45 ° で角柱の側面をまわりながら登って行く 2 つの折れ線を l 1 l2 とする.ただし l1 は辺 A 0A1 と角度 45 ° をなすように出発し, l2 は辺 A 0A 2n- 1 と角度 45 ° をなすように出発する. l1 l2 が初めて出会う点を X n 二番目に出会う点を Yn とする.

 次に, A0 から出発して l1 上を Xn まで進み, Xn から Yn までは l2 上を進み, Yn から Xn へ戻るのに l1 上を進み, Xn から A0 へ戻るのに l2 上を進む.こうして得られる折れ線で囲まれる角柱の側面上の図形,すなわち A n Xn を通る辺で側面を切り開いたときに出来る図形の面積を Sn とする。底面から測った,点 Xn の高さを hn とする.

 このとき

h2= S2=

limn hn= π limn Sn= π

となる.

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【3】 座標平面上で, y=log (x+ x2- 1) (ただし x> 1 )で表される曲線を C とする.

(1) この曲線 C は, x y で表すと

x= (ey +e- y) (ただし y> 0

と表せる.

(2)  C 上の点 P( a,b) での C の接線を l l y 軸の交点を Q 線分 PQ の長さを L とおく. a=3 のとき, L= である.点 P C 上を動くとき, L の最小値は である.

(2)  C と, C 上の点 P( a,b) での接線 l および x 軸で囲まれる図形の面積を S とする. a=3 のとき,(1)を使い y で積分することを利用すると

S= { log( 3+2 2) }2 + log (3+ 22 )+

となる.

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数・物理学科

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【4】 複素数平面において,原点から実軸上を正の向きに 1 だけ進んだ点を P1 とする.原点から P1 まで進んだ方向より 60 ° 正の向きに方向を変え, P1 から 12 だけ進んだ点を P2 とする. P1 から P2 まで進んだ方向より 30 ° 正の向きに方向を変え, P2 から 14 だけ進んだ点を P3 とすると,

P3 の虚部 = +3

となる. P2 から P3 まで進んだ方向より 60 ° 正の向きに方向を変え, P3 から 18 だけ進んだ点を P4 とすると,

P4 の実部= - 3

となる.次に P3 から P4 まで進んだ方向より 30° 正の向きに方向を変え, P4 から 116 だけ進んだ点を P5 とする.以後同様に進む長さを半分ずつにし, 60° 30 ° と交互に方向を変えていくと Pn は複素数

-3 + + 3 i

に近づく.ただし, i は虚数単位である.

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電気電子工学科

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【4】(1) 方程式 z4 +1= 0 の解 zn n= 1 2 3 4 を求め,複素数平面上に図示せよ.

(2)  |z | =1 なる z と(1)の解 zn の距離は z の偏角 θ の関数となるので, fn (θ ) と表す.ただし偏角 θ はラジアンで表す.このとき

I= 02 π {f 1( θ) f2 (θ) f3 (θ) f4 (θ) }2 dθ

を求めよ.

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