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2001-13363-0801
2001 上智大学 理工学部
数・物理・電気電子工学科
易□ 並□ 難□
【1】 座標平面において y≧ x2 ,y≦- (x- a)2 -a+6 を同時に満たす領域を T , その面積を S とする.
(1) T が空集合でないのは
ア- イ ≦a≦ ア+ イ
のときである.このとき, T に含まれる点の x 座標の最小値を α , 最大値を β とすると
S= ウ エ ⁢ (β -α) オ
が成り立つ.
(2) S が最大となるのは a= カ のときである.
(3) x 座標, y 座標が共に整数である点を格子点と呼ぶ. a= カ のとき, T に含まれる格子点の個数は キ である.
2001-13363-0802
【2】 半径 1 の円に内接する正 2⁢ n 角形を底面とする正 2⁢ n 角柱を考える.底面の正 2⁢ n 角形の頂点を順に A 0, A1 , ⋯, A2⁢ n-1 とする.
A0 から出発して底面と常に角度 45 ° で角柱の側面をまわりながら登って行く 2 つの折れ線を l 1, l2 とする.ただし l1 は辺 A 0A1 と角度 45 ° をなすように出発し, l2 は辺 A 0A 2⁢n- 1 と角度 45 ° をなすように出発する. l1 , l2 が初めて出会う点を X n , 二番目に出会う点を Yn とする.
次に, A0 から出発して l1 上を Xn まで進み, Xn から Yn までは l2 上を進み, Yn から Xn へ戻るのに l1 上を進み, Xn から A0 へ戻るのに l2 上を進む.こうして得られる折れ線で囲まれる角柱の側面上の図形,すなわち A n, Xn を通る辺で側面を切り開いたときに出来る図形の面積を Sn とする。底面から測った,点 Xn の高さを hn とする.
このとき
h2= ク⁢ ケ , S2= コ
limn→ ∞⁡ hn= サ⁢ π シ , limn→ ∞⁡ Sn= ス⁢ π セ
となる.
2001-13363-0803
【3】 座標平面上で, y=log⁡ (x+ x2- 1) (ただし x> 1 )で表される曲線を C とする.
(1) この曲線 C は, x を y で表すと
x= ソ タ⁢ (ey +e- y) (ただし y> 0 )
と表せる.
(2) C 上の点 P( a,b) での C の接線を l ,l と y 軸の交点を Q , 線分 PQ の長さを L とおく. a=3 のとき, L= チ ⁢ ツ テ である.点 P が C 上を動くとき, L の最小値は ト である.
(2) C と, C 上の点 P( a,b) での接線 l および x 軸で囲まれる図形の面積を S とする. a=3 のとき,(1)を使い y で積分することを利用すると
S= ナ ⁢ ニ ⁢{ log⁡( 3+2⁢ 2) }2 + ヌ ⁢log ⁡(3+ 2⁢2 )+ ネ ⁢ ノ
2001-13363-0804
数・物理学科
【4】 複素数平面において,原点から実軸上を正の向きに 1 だけ進んだ点を P1 とする.原点から P1 まで進んだ方向より 60 ° 正の向きに方向を変え, P1 から 12 だけ進んだ点を P2 とする. P1 から P2 まで進んだ方向より 30 ° 正の向きに方向を変え, P2 から 14 だけ進んだ点を P3 とすると,
P3 の虚部 = ハ +3 ヒ
となる. P2 から P3 まで進んだ方向より 60 ° 正の向きに方向を変え, P3 から 18 だけ進んだ点を P4 とすると,
P4 の実部= フ- 3 ヘ
となる.次に P3 から P4 まで進んだ方向より 30° 正の向きに方向を変え, P4 から 116 だけ進んだ点を P5 とする.以後同様に進む長さを半分ずつにし, 60° ,30 ° と交互に方向を変えていくと Pn は複素数
ホ-3 マ+ ミ+ ム ⁢3 メ ⁢i
に近づく.ただし, i は虚数単位である.
2001-13363-0805
電気電子工学科
【4】(1) 方程式 z4 +1= 0 の解 zn ( n= 1, 2, 3, 4) を求め,複素数平面上に図示せよ.
(2) |z | =1 なる z と(1)の解 zn の距離は z の偏角 θ の関数となるので, fn ⁡(θ ) と表す.ただし偏角 θ はラジアンで表す.このとき
I= ∫02 ⁢π ⁡ {f 1⁡( θ)⁢ f2⁡ (θ)⁢ f3⁡ (θ)⁢ f4⁡ (θ) }2 ⁢dθ
を求めよ.