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2001-13363-0901
2001 上智大学 理工学部
数学科
易□ 並□ 難□
【1】 数列 {xn }, {yn }, {zn } を次で定義する.
x1= 3, y1= 4, z1= 5
xn+ 1= xn2 -y n2 , yn+1 =2⁢ xn⁢ yn ,zn +1= zn2
(1) n≧1 に対し, xn2 +yn 2= zn2 が成立することを示せ.
(2) n≧1 に対し, xn≠ 0 が成立することを示せ.
2001-13363-0902
【2】 xyz 空間において x2 +y2 +z2 =1 ,z≦ 0 で定義される半球面を S とする.この半球面 S と xy 平面とで囲まれた領域に含まれ,かつ半球面 S と x y 平面とに接する球を考える.このような球の中心の全体は,ある曲面 F を描く.
(1) F と xz 平面との交線はどんな曲線か.
(2) F と xy 平面とで囲まれる領域の体積を求めよ.
(3) x= 12 である平面と F との交線は,どのような曲線か.
2001-13363-0903
【3】(1) 実数 x が 0< x<1 の範囲を動くとき,関数 | x⁢log ⁡x| の最大値を求めよ.
(2) limx→ +0⁡ x⁢log⁡ x=0 を証明せよ.
(3) f⁡(x )=(1 -x)⁢ log⁡(1 -x)-x ⁢log⁡x とおく. 0<x < 12 のとき, f⁡( x)>0 が成り立つことを証明せよ.
(4) 不等式
log⁡x⁢ log⁡(1 -x)≦ C
が 0< x<1 の範囲で成り立つための正定数 C の条件を求めよ.