2001　上智大学　理工(数)学部MathJax

【１】　数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}\text{，}\{z_n\}$を次で定義する．

$x_1=3\text{，}{y}_1=4\text{，}{z}_1=5$

$x_{n+1}={x_n}^2-{y_n}^2\text{，}{y}_{n+1}=2x_n{y}_n\text{，}{z}_{n+1}={z_n}^2$

(1)　$n\geqq 1$に対し，${x_n}^2+{y_n}^2={z_n}^2$が成立することを示せ．

(2)　$n\geqq 1$に対し，$x_n\ne 0$が成立することを示せ．

【２】　$xyz$空間において$x^2+y^2+z^2=1\text{，}z\leqq 0$で定義される半球面を$S$とする．この半球面$S$と$xy$平面とで囲まれた領域に含まれ，かつ半球面$S$と$xy$平面とに接する球を考える．このような球の中心の全体は，ある曲面$F$を描く．

(1)　$F$と$xz$平面との交線はどんな曲線か．

(2)　$F$と$xy$平面とで囲まれる領域の体積を求めよ．

(3)　$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$である平面と$F$との交線は，どのような曲線か．

【３】(1)　実数$x$が$0<x<1$の範囲を動くとき，関数$|\sqrt{x}\log x|$の最大値を求めよ．

(2)　$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$を証明せよ．

(3)　$f(x)=(1-x)\log (1-x)-x\log x$とおく．$0<x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$f(x)>0$が成り立つことを証明せよ．

(4)　不等式

$\log x\log (1-x)\leqq C$

が$0<x<1$の範囲で成り立つための正定数$C$の条件を求めよ．