2001　東京理科大学　理工学部物理，応用生物科，経営工学科MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ネ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$3\cos 4\theta +5\cos 2\theta -3=0$が成り立つとき，$\cos 2\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であり，$\cos 4\theta =-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．このとき${\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$であり，$\cos 3\theta$と$\cos \theta$との間に$\cos 3\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\cos \theta$という関係が成り立つ．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ネ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　$2\sqrt{13}$の整数部分を$a_1\text{，}$小数部分を$b_1$とおく．さらに${\displaystyle \frac{1}{b_1}}$の整数部分を$a_2\text{，}$小数部分を$b_2$とおく．このとき$a_1=\boxed{\text{ケ}}\text{，}{a}_2=\boxed{\text{コ}}$である．$k$が有理数で$b_1+k{b}_2$が有理数になるのは$k-\boxed{\text{サ}}$のときであって，このとき$b_1+k{b}_2=-\boxed{\text{シ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ネ}}$から$\boxed{\text{ネ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　$x$がすべての整数値をうごくとき

$f(x)=x^4-{(x+1)}^4-{(x+2)}^4+{(x+3)}^4$

の最小値は$\boxed{\text{ス}\text{セ}}$であり，この最小値をあたえる整数$x$の値は$-\boxed{\text{ソ}}$および$-\boxed{\text{タ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ネ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(4)　$1$辺の長さが$1$の正三角形の頂点を反時計回りに$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．硬貨を投げて表が出れば反時計回りに，裏が出れば時計回りに，この正三角形の辺上を$1$だけ動く動点$\mathrm{X}$がある．頂点$\mathrm{A}$を出発点として硬貨を$n$回投げた結果$\mathrm{X}$がちょうど頂点$\mathrm{A}$に到達する確率を$P_n$とする．頂点$\mathrm{A}$を出発点として硬貨を$n-1$回投げた結果$\mathrm{X}$が頂点$\mathrm{B}$に達する確率は，頂点$\mathrm{C}$に到達する確率と等しく，${\displaystyle \frac{1-P_{n-1}}{\boxed{\text{チ}}}}$である．したがって漸化式$P_n={\displaystyle \frac{1-P_{n-1}}{\boxed{\text{ツ}}}}$が得られる．$P_1=\boxed{\text{テ}}$であるから

$P_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}{(-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ネ}}}})}^{n-1}$

となる．

【２】　平面上に$▵\mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$があり，$\mathrm{P}$は次の式を満たしている．

$\overrightarrow{\mathrm{PO}}+s\overrightarrow{\mathrm{PA}}+t\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{0}$

ここで$s\text{，}t$は正の実数である．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　$2$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}$を通る直線が辺$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{Q}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(3)　$▵\mathrm{PAB}$の面積と$▵\mathrm{OAB}$の面積の比の値を$R$とおく．$R$を求めよ．

(4)　正の実数$s\text{，}t$が$st=1$を満たすとき，(3)における$R$がとり得る値の範囲を求めよ．

【３】　座標平面上の点$\mathrm{P}(t,0)\text{，}$原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{Q}(0,{\displaystyle \frac{1}{t^2}})\text{，}$点$\mathrm{R}(t-{\displaystyle \frac{1}{t^2}},{\displaystyle \frac{1}{t^2}})$を順次つなぐ$3$つの線分と，点$\mathrm{C}(t,{\displaystyle \frac{1}{t^2}})$を中心とし，半径${\displaystyle \frac{1}{t^2}}$の円の劣弧$\mathrm{RP}$（短い方の弧）とで囲まれた領域$D$を考える．ただし$t\geqq 1$とする．

(1)　$D$の面積を$S(t)$とおく．

(ⅰ)　$S(t)$を求めよ．

(ⅱ)　$t\geqq 1$の範囲で$S(t)$の最大値と，最大値を与える$t$の値を求めよ．

(2)　$D$を$y$軸の周りに$1$回転して得られる回転体の体積を$V(t)$とおく．

(ⅰ)　$V(t)$を求めよ．

(ⅱ)　$\underset{t\to \infty }{\lim }V(t)$を求めよ．