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2001-13442-0601
2001 東京理科大学 工学部
建築,電気工学科
(1)〜(3)で配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 次の(1),(2),(3)において, 内の 1 つのカタカナに 0 から 9 までの数字が 1 つあてはまる.その数字を解答用マークシートにマークしなさい.
(1) 4 次多項式 f⁡ (x ) は, f⁡( x)+ 2 が ( x-1) 2 で割り切れ, f⁡( x)- 6 が ( x+1) 2 で割り切れるものとする.
(a) f⁡( 1)= - ア , f⁡( -1) = イ が成り立つ.
(b) f⁡( x) の導関数 f′ (x ) について, f′ ⁡( 1)= ウ , f′ ⁡( -1) = エ が成り立つ.
(c) さらに, f⁡( x) が
limx→ ∞⁡ f⁡( x) x4- 4= 3
を満たすとき,
f⁡( x)= オ ⁢ x4+ カ ⁢ x3- キ ⁢ x2- ク ⁢ x+ ケ
となる.
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(2) 集合 X を X ={1 ,2,3 ,4,5 } とし, A ,B をそれぞれ X の部分集合(空集合でもよい)で, A∪ B= X を満たすものとする.
(a) A ,B に共通の要素がないとき, A ,B の選び方は全部で ア イ 通りある.
(b) A ,B に共通の要素があってもよい場合を考える. A の要素の個数が 1 であるとき, A ,B の選び方は全部で ウ エ 通りある.また, A の要素の個数が 2 であるとき, A ,B の選び方は全部で オ カ 通りある.さらに, A の要素の個数に制限がないとき, A ,B の選び方は全部で キ ク ケ 通りある.
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(3) 複素数 α , β は,式 | α| =2 ,| β| =6 ,3⁢α +β=6 を満たし,かつ α の虚部が正であるとき,
α= ア + イ ⁢ i, β= ウ - エ ⁢ オ ⁢i
である.ただし, i=-1 である.
|z +1| =2⁢3 を満たす複素数 z に対して, |z -α| +| z-β | は z = カ - キ ⁢i のとき,最小値 ク ⁢ ケ コ をとる.
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(1)〜(3)合わせて配点25点
【2】 次の問いに答えなさい.
(1) t=tan⁡ x と置換して,次の定積分の値を求めなさい.
∫ 0π4 ⁡ etan⁡ xcos 4⁡x ⁢ dx
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(2) 0<x< 1 で定義された次の関数 f⁡ (x ) の導関数を求めなさい.
f⁡( x)= 1-x 1+ x
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(3) x ,y ,z を未知数とする連立 1 次方程式
( 12 0- 1-1 1 13 1) ⁢( x y z) =( 1 1a )
が解をもつように a の値を定めなさい.
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配点25点
【3】 次の問いに答えなさい.
(1) どんな正の数 a ,b に対しても,不等式
ab + ba≧ P
が成り立つとき, P のとりうる最大値を求めなさい.
(2) 数列 { an } に対し,
Sn= ∑ k=1 n⁡ ak ( n=1 ,2 ,3 ,⋯)
とおく.このとき,どんな正の数からなる数列 { an } に対しても,不等式
1 a1 +1 a2 +⋯+ 1 an ≧ QSn
が成り立つような Q を考える.
(a) n=2 のとき, Q のとりうる最大値を求めなさい.
(b) n=3 のとき, Q のとりうる最大値を求めなさい.
(c) 一般の n について, Q のとりうる最大値を n で表しなさい.