2001　東京理科大学　工学部(工業化，経営工，機械工学科)MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字の$1$つがあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(1)　$|z_1|=5\text{，}|z_2|=3$を満たす複素数$z_1\text{，}{z}_2$を考える．

(a)　$|z_1-z_2|$の最大値は$\boxed{\text{ア}}$であり，最小値は$\boxed{\text{イ}}$である．

(b)　$|z_1-z_2|=7$のとき，${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\pm {\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}i$である．ただし，$i=\sqrt{-1}$とする．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字の$1$つがあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(2)　$r$個の同じボールを，$1$番から$n$番まで番号のついた$n$個の箱に入れることを考える．ただし，それぞれの箱は十分大きいので，ボールは何個でも入れられるものとする．

(a)　$3$個のボールと$3$個の箱がある場合，ボールの入れ方は全部で$\boxed{\text{ア}\text{イ}}$通りある．

(b)　$4$個のボールと$3$個の箱がある場合，ボールの入れ方は全部で$\boxed{\text{ウ}\text{エ}}$通りある．

(c)　$7$個のボールと$4$個の箱がある場合，ボールの入れ方は全部で$\boxed{\text{オ}\text{カ}\text{キ}}$通りある．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字の$1$つがあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(3)　座標平面において曲線$y={|x|}^3+1$上の点$\mathrm{P}(t,t^3+1)$と点$\mathrm{Q}(-{\displaystyle \frac{1}{t}},{\displaystyle \frac{1}{t^3}}+1)\text{（}t>0\text{）}$における$2$本の接線の交点を$\mathrm{R}$とし，$\angle \mathrm{PRQ}=\theta \text{（}\theta >0\text{）}$とおく．さらに$t^2+{\displaystyle \frac{1}{t^2}}=k$とする．

(a)　$t=1$のとき，三角形$\mathrm{PRQ}$の面積は$\boxed{\text{ア}}$である．

(b)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$とすると$L^2=k^{\boxed{\text{イ}}}-\boxed{\text{ウ}}k$となる．

(c)　$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}k$であるので$\tan \theta$は$t=\boxed{\text{カ}}$のとき最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$をとる．

(d)　$t>1$の範囲で$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$となるのは$t^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}+\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}$のときである．このとき$t={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{シ}\text{ス}}}+\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　$x>0$で定義された関数$y={\displaystyle \frac{{\log }_{3}x}{3^x}}$の導関数$y^{\prime }$を求めなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(2)　関数$f(x)=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}c{e}^{-x}$において，定数$c$は

$c={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{t}f(t)\sin tdt$

を満たす．このとき$c$の値を求めなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(3)　行列$\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 1& 2& -1\\ 2& 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)(\begin{array}{cc}1& 0\end{array})$を求めなさい．

【３】　図のような一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$において，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{f}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{h}$とおく．

　辺$\mathrm{BA}$を$\mathrm{BK}:\mathrm{KA}=t:1-t\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{K}$とし，辺$\mathrm{HD}$を$\mathrm{HL}:\mathrm{LD}=qt:1-qt(0<q<{\displaystyle \frac{1}{t}})$に内分する点を$\mathrm{L}$とする．さらに三角形$\mathrm{FKL}$の重心を$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{E}$を始点として$\mathrm{P}$を通る直線が立方体のいずれかの面と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{EP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{f}\text{，}\overrightarrow{h}$および$q\text{，}t$で表しなさい．

(2)　点$\mathrm{Q}$が面$\mathrm{BCGF}$上にあるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{EQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{f}\text{，}\overrightarrow{h}$および$q\text{，}t$で表しなさい．

(3)　点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{BC}$上にあるとき，$t$の値および比$\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}$を$q$で表しなさい．

(4)　点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{BC}$上にあるとき，定数$q$を適当に選ぶことによって線分$\mathrm{KQ}$と線分$\mathrm{LQ}$が垂直であるようにできる．このとき$q$が満たす式を求めなさい．