2001　東京理科大学　理学部数，物理，化学科MathJax

【１】　次の(1)，(2)において，$\boxed{}$にあてはまる正の整数を求めよ．そして，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字をそれぞれ解答用マークシートにマークせよ．

(1)　$1$辺の長さが$1$の正$6$角形の各頂点に，$1$から$6$までの番号を$1$つずつふる．そして，番号$1$から番号$6$までの頂点について，$1$つ違いの番号をもつ頂点どうしを線分でむすぶ．さらに番号$6$の頂点と番号$1$の頂点を線分でむすび，合計$6$本の線分を作る．このとき，$6$本の線分の長さの総和は，負でない整数$a\text{，}b$を用いて$a+b\sqrt{3}$と表される．

　例えば，反時計回りに$1\text{，}6\text{，}2\text{，}4\text{，}3\text{，}5$という順あるいは$1\text{，}6\text{，}2\text{，}5\text{，}3\text{，}4$という順で番号がふられた場合，線分の長さの総和はともに$2+4\sqrt{3}$である．

(a)　$b$がとり得るもっとも大きい値は$\boxed{\text{ア}}$である．

(b)　$b$の値が$0$であり，長さ$2$の線分が$3$本現われる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}\text{エ}}}}$である．$b$の値が$0$であり，長さ$2$の線分が$2$本現われる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}}$である．これらに，$b$の値が$0$であり，長さ$2$の線分が現れない確率を加えて，$b$の値が$0$である確率${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}}$を得る．

(c)　$b$の値がもっとも大きい値であり，長さ$2$の線分が現れない確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}\text{ス}}}}$であることがわかる．この確率に，$b$の値がもっとも大きく長さ$2$の線分が$1$本現われる確率と，$b$の値がもっとも大きく長さ$2$の線分が$2$本現れる確率を加えることにより，$b$の値がもっとも大きい値をとる確率${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}}$を得る．

【１】　次の(1)，(2)において，$\boxed{}$にあてはまる正の整数を求めよ．そして，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字をそれぞれ解答用マークシートにマークせよ．

(2)　$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}\text{，}\{z_n\}\text{，}\{w_n\}$は，一般項が正の数である等比数列とする．

(a)　$\{x_n\}$は初項${\displaystyle \frac{3}{4}}$で公比${\displaystyle \frac{3}{5}}\text{，}\{y_n\}$は初項${\displaystyle \frac{4}{5}}$で公比${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\text{，}\{z_n\}$は初項${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$で公比${\displaystyle \frac{2}{5}}$とすると，各自然数$n$に対して

${\displaystyle \frac{1}{a_n}}+{\displaystyle \frac{1}{b_n}}={\displaystyle \frac{1}{c_n}}\text{，}{(x_n)}^{a_n}={(y_n)}^{b_n}={(z_n)}^{c_n}$

という式が同時に成立するような$0$ではない実数$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$が存在する．

(b)　(a)の$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$に対して，$\{w_n\}$が初項${\displaystyle \frac{3}{5}}$で公比${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}}}}$ならば，

${\displaystyle \frac{1}{k}}+{\displaystyle \frac{1}{e}}={\displaystyle \frac{1}{f}}\text{，}{({\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{x}_n)}^d={({\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{y}_n)}^e={({\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{w}_n)}^f$

という式が同時に成立するような$0$ではない実数$d\text{，}e\text{，}f$が存在する．

【２】　座標平面上に曲線$C_1:$

$y^2=26-19(e^x+e^{-x})+7(e^{2x}+e^{-2x})-(e^{3x}+e^{-3x})$

と曲線$C_2:$

$y^2=4(x^2-2x^3)$

が与えられている．ただし，$x\geqq 0$とする．

(1)　曲線$C_2$上の点$\mathrm{P}$における接線が$x$軸と平行になるとき，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$t={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}-1$とおく．点$(x,y)$が曲線$C_1$上にあるとき，$y^2$を$t$の式で表せ．

(3)　曲線$C_1$と$x$軸との交点の$x$座標の値を$\alpha$とする．${\displaystyle \frac{e^{\alpha }-e^{-\alpha }}{2}}$の値をすべて求めよ．

(4)　曲線$C_1$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【３】　複素数平面上の点$z$と点$w={\displaystyle \frac{z\cos \theta +\sin \theta }{-z\sin \theta +\cos \theta }}$を考える．ただし，$z\ne {\displaystyle \frac{\cos \theta }{\sin \theta }}$とし，(1)と(2)においては，$\theta$は$0<\theta <\pi$をみたす定数とする．

(1)　$w=z$となる複素数$z$をすべて求めよ．

　以下の問題では，点$z$の描く図形は，$w$の実部を$u$虚部を$v$として，$u$と$v$を用いて，図形の特徴がわかるように整理したもので答えよ．

(2)　$z$が，虚部が$1$であるように動くとき，点$w$の描く図形を求めよ．

(3)　$z=2i$とする．$\theta$が$0<\theta <\pi$をみたす範囲を動くとき，点$w$の描く図形を求めよ．