2001　東京理科大学　理学部B方式MathJax

【１】　次の(1)，(2)において，$\boxed{}$内のアからロにあてはまる$0$から$9$までの数字を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークせよ．

(1)　$1$個のさいころを続けて投げる．$k$回目に出る目の数を$x_k$とする．このとき，$n$回目までに出た目の数の積$x_1{x}_2\cdots x_n$が$50$となる得るような$n$の最小値は$\boxed{\text{ア}}$である．そこで，$n\geqq \boxed{\text{ア}}$として，$n$回目で積$x_1{x}_2\cdots x_n$が初めて$50$となる確率$p_n$を求める．積$x_1{x}_2\cdots x_n$が初めて$50$となるのは，

(ⅰ)　$x_n=\boxed{\text{イ}}$

または

(ⅱ)　$x_n=\boxed{\text{ウ}}$

のときのみである．ただし，$\boxed{\text{イ}}<\boxed{\text{ウ}}$とする．

　(ⅰ)の場合，積$x_1{x}_2\cdots x_n$が$50$となるのは，$n-1$回目までに$\boxed{\text{エ}}$が$n-3$回，$\boxed{\text{オ}}$が$2$回出るときである．ゆえに，$x_n=\boxed{\text{イ}}$かつ$x_1{x}_2\cdots x_n=50$となる確率は，

${\displaystyle \frac{(n-\boxed{\text{カ}})(n-\boxed{\text{キ}})}{\boxed{\text{ク}}\times {\boxed{\text{ケ}}}^n}}$

である．

　(ⅱ)の場合，積$x_1{x}_2\cdots x_n$が$50$となるのは，$n-1$回目までに$\boxed{\text{コ}}$が$n-3$回，$\boxed{\text{サ}}$が$1$回，$\boxed{\text{シ}}$が$1$回出るときである．ゆえに，$x_n=\boxed{\text{ウ}}$かつ$x_1{x}_2\cdots x_n=50$となる確率は，

${\displaystyle \frac{(n-\boxed{\text{ス}})(n-\boxed{\text{セ}})}{{\boxed{\text{ソ}}}^n}}$

である．よって，$n$回目で積$x_1{x}_2\cdots x_n$が初めて$50$となる確率$p_n$は，

$p_n=\boxed{\text{タ}}{\displaystyle \frac{(n-\boxed{\text{チ}})(n-\boxed{\text{ツ}})}{\boxed{\text{テ}}\times {\boxed{\text{ト}}}^n}}$

で与えられる．また，$p_n>{\displaystyle \frac{1}{150}}$となるのは，$n=\boxed{\text{ナ}}$または$n=\boxed{\text{ニ}}$のときである．

【１】　次の(1)，(2)において，$\boxed{}$内のアからロにあてはまる$0$から$9$までの数字を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークせよ．

(2)　$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,2,0)\text{，}\mathrm{B}(2,0,-1)\text{，}\mathrm{C}(0,-2,4)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$について考える．

(a)　点$\mathrm{D}(3,-2,7)$に対し，直線$\mathrm{OD}$と$▵\mathrm{ABC}$の交点$\mathrm{P}$の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}},-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}})$である．

(b)　頂点$\mathrm{O}$から$▵\mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ホ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}})$であり，このときの$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$の長さは，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ユ}\text{ヨ}}}$である．

さらに，$▵\mathrm{ABC}$の面積は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ル}\text{レ}}}$であり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は，$\boxed{\text{ロ}}$である．

【２】

(1)　$n\text{，}q\text{，}r$を定数とし，$p\ne 1$と仮定する．数列$\{y_n\}$が関係式

$\{\begin{array}{l}{y}_1=r\\ y_{n+1}=p{y}_n+q(1-p)n+q\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

を満たすとき，$y_n$を求めよ．

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 0& 1\end{array}\right)$とし，行列$X_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が関係式

$\{\begin{array}{l}{X}_1=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 3& 2\end{array}\right)\\ X_{n+1}=A{X}_n+3E\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

をみたすとする．ここで，$E$は単位行列を表す．

(a)　$X_n$を求めよ．

(b)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n-b_n}{c_n-d_n}}$を求めよ．

【３】　$a$を正の実数とし，関数$f(x)$を

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2a}}x)& \text{（}|x|\leqq a\text{のとき）}\\ |x|-a& \text{（}|x|>a\text{のとき）}\end{array}$

により定める．

(1)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=\pm 1$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V(a)$を求めよ．

(2)　$a$がすべての正の実数をうごくときの$V(a)$の最小値，および最小値を与える$a$の値を求めよ．