2001　東京理科大学　理学部情報数理学科MathJax

【１】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{-3x+7}{x^2-2x+2}}$について次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の極値と，極値を与える$x$の値を求めよ．

(2)　$a$を正の定数とするとき，$-1\leqq x\leqq a$によって表される範囲における$f(x)$の最大値，最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．

【２】

(1)　数列$\{b_n\}$が，すべての$n$に対して$0<b_n<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたしている．

(ア)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\tan b_n=0$であるとき，$\underset{n\to }{\lim }{b}_n$を求めよ．

(イ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\tan b_n=\infty$であるとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

(2)　曲線$C:y=2x+\sin x$について考える．点$\mathrm{P}(a,2a+\sin a)$における$C$の接線が原点をとおるための必要十分条件を$a$の式で表せ．

(3)　(2)の条件を満たす点$\mathrm{P}(a,2a+\sin a)$で$x$座標$a$が正であるようなものをすべて考え，それらの点の$x$座標を小さい順に

$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{（}0<a_1<a_2<a_3<\cdots \text{）}$

とする．

(ア)　曲線$C$と$x$軸および$2$直線$x=a_{2n-1}\text{，}x=a_{2n}-\pi$で囲まれた図形の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$a_{2n-1}$と$a_{2n}$を用いて表せ．

(イ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n-n\pi )$を求めよ．

(ウ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\{{\displaystyle \frac{1}{2}}(a_{2n-1}+a_{2n})-2n\pi \}\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }\cos \{{\displaystyle \frac{1}{2}}(a_{2n-1}+a_{2n})\}$をそれぞれ求めよ．

(エ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_{2n}-a_{2n-1})\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\sin \{{\displaystyle \frac{1}{2}}(a_{2n}-a_{2n-1})-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}(a_{2n}-a_{2n-1})-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}}$をそれぞれ求めよ．

(オ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }({\displaystyle \frac{S_n}{a_{2n}-a_{2n-1}-\pi }}-4n\pi )$を求めよ．