2001　早稲田大学　政治経済学部MathJax

【１】　放物線

(A)　$y=-x^2+2px+q$，ただし，$-2<p<4$

が，$2$つの放物線

(B)　$y=x^2-8x+16$

(C)　$y=7x^2+28x+16$

の両方に接するように，$p\text{，}q$を定めると，$p=\boxed{\text{ア}}\text{，}q=\boxed{\text{イ}}$である．ただし，$2$つの放物線が接するとは，共有点をもち，共有点において共通の接線をもつことであり，その共有点を接点と呼ぶ．(A)と(B)の接点$\mathrm{P}$の$x$座標$x_1$は$\boxed{\text{ウ}}$で，(A)と(C)の接点$\mathrm{Q}$の$x$座標$x_2$は$\boxed{\text{エ}}$である．また，このとき，$3$つの放物線(A)，(B)，(C)で囲まれる三角形状領域$\mathrm{PQR}$の面積$S$は$\boxed{\text{オ}}$である．ここに，$\mathrm{R}=(0,16)$とする．

【２】　$-90\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$とする．このとき，$x$の方程式

$(\sin \theta )x^2+2(\cos 2\theta )x+\cos 2\theta =0$

が，少なくとも$1$つの実数解をもつような$\theta$の範囲を求め，その範囲を解答欄に記入せよ．また，その理由も記せ．

【３】　右図のように，$1$つの入口と$7$つの出口（出口番号$0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}6$）からなる通路がある．○印は分岐点で，この通路は，矢印の方向にだけ進むことができる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　入口から入って出口$2$へ至る経路の総数を求め，解答欄に答のみ記入せよ．

(2)　入口からネズミを$1$匹入れる．このネズミは，次の条件a，bにしたがって，いずれかの出口に出るものとする．

a.　各分岐点において，上方へ向かって右側の通路を選ぶ確率は$p\text{，}$左側の通路を選ぶ確率は$1-p$である．ただし，$0<p<1$とする．

b.　各分岐点における選択は，他の分岐点における選択と互いに独立に行なわれる．

このとき，入口から入ったネズミが出口$2$へ出る確率を，$p$を用いた式で表し，解答欄に答のみ記入せよ．

(3)　上記の条件をみたすように行動するネズミを使う．また，それぞれの出口には，出口番号と同じ数のチーズ片を置く．$p={\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，ネズミが食べることのできるチーズ片の個数の期待値を求めよ．その値を解答欄に記入し，また，その理由も記せ．

【４】　数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$があるとき，初項から第$n$項までの和を$S_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とかく．いま，$a_n$と$S_n$が，関係式

$S_n=2{a_n}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

をみたし，かつ，すべての項$a_n$は同符号である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_n$のみたす漸化式（$a_{n+1}$と$a_n$の関係式）を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を$n$の式で表せ．