2001　早稲田大学　商学部MathJax

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{コ}}$に入るべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．

(1)　$a\text{，}b$を定数とする．整式$2x^4+3x^3+a{x}^2$を整式$P(x)$で割ると，商が$x^2-x+b\text{，}$余りが$-5x-10$である．このとき，

$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}$または$a=-\boxed{\text{ウ}}\boxed{\text{エ}}\text{，}b=-\boxed{\text{オ}}$

である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{コ}}$に入るべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．

(2)　$c$を定数とする．数列$\{a_n\}$が次のように定義されている．

$a_0=1\text{，}{a}_1=0\text{，}{a}_n=a_{n-2}+c\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

$a_{2001}=4000$であるとき，$c=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{コ}}$に入るべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．

(3)　$a$を正の整数とする．条件$a\leqq {\log }_{10}x<a+1$をみたす正の整数$x$の個数を$A$とする．このとき，${\log }_{10}A=a+{\log }_{10}\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{コ}}$に入るべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．

(4)　極形式で表された$0$でない$2$つの複素数

$z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)\text{，}$

$z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)\text{，}$（ただし$0\mathrm{°}\leqq {\theta }_1<{\theta }_2<360\mathrm{°}$）

が条件

$|z_1{z}_2|=16\text{，}{\displaystyle \frac{z_1+z_2}{2}}=2\sqrt{3}i$

をみたしている．$z_1=\boxed{\text{ク}}+\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}i$のとき，$\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)$の値は最大となる．

【２】　$xy$平面上の直線$l:y=ax+b$と放物線$C:y=x^2$が異なる$2$点で交わり，直線$l$と放物線$C$で囲まれた図形の面積は一定値${\displaystyle \frac{9}{2}}$である．

　次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$のみたす関係式を求めよ．

(2)　ある$1$つの放物線$y=p{x}^2+qx+r$があって，直線$l$はつねにこの放物線に接する．$p\text{，}q\text{，}r$の値を求めよ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に円$C:x^2+y^2=1$が与えられている．円$C$の内部に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$を端点とする$2$つの直交する半直線が円$C$と交わる点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．さらに，点$\mathrm{Q}$を，$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が長方形（または正方形）の$4$つの頂点となるようにとる．

　次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}=\mathrm{O}$のとき，点$\mathrm{Q}$のとりうる範囲を求め，$xy$平面上に図示せよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=r$とするとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$の値を$r$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が円$C$の内部を動くとき，点$\mathrm{Q}$のとりうる範囲を求め，$xy$平面上に図示せよ．