2002 大学入試センター試験 本試験 数学I・数学IAMathJax

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2002 大学入試センター試験 本試

数学I・数学IA共通

必答問題 [2]とあわせて配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1]  a を定数とし, 2 次関数

y=−4 x2+ 4(a 1) xa 2

のグラフを C とする.

(1)  C が点 (1,−4 ) を通るとき, a= である.

(2)  C の頂点の座標は

( a1 , ウエ a+ )

である.

(3)  a>1 とする. x −1x 1 の範囲にあるとき,この 2 次関数の最大値,最小値を調べる.最大値は

1<a ならば −2a+
a> ならば a2 +4 a

である.また最小値は

a2 a

である.最大値と最小値の差が 12 になるのは

a= −1+

のときである.

2002 大学入試センター試験 本試

数学I・数学IA共通

必答問題 [1]とあわせて配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2] 二つの箱 A B がある.

  A の箱から 1 枚, B の箱から 2 枚,あわせて 3 枚のカードを取り出す.

(1)  3 枚のカードに書かれた数がすべて 0 である確率は スセ である.

(2)  3 枚のカードに書かれた数の積が 4 である確率は タチ である.

(3)  3 枚のカードに書かれた数の積が 0 である確率は ツテ トナ である.

(4)  3 枚のカードに書かれた数の積の期待値は ニヌ ネノ である.

2002 大学入試センター試験 本試

数学I

必答問題 配点30点

数学I・A【2】[2]の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】 半径 R の円に内接する四角形 ABCD

AB=3 1 BC=3 +1 cos ABC= 14

を満たしており, ACD の面積は ABC の面積の 3 倍であるとする.

 このとき,

AC= sin ABC= イウ 4 R= オカ

である.また, ACD の面積は ケコ 4 であるから,

となる.したがって,四角形 ABCD の周の長さは

+2 3

である.

2002 大学入試センター試験 本試

数学I

必答問題 配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  1 から 5 までの番号のついた球がそれぞれ一つずつあり,これら五つの球を A B C D の四つの箱に入れる.ただし,それぞれの箱には五つまで球をいれることができるものとする.

(1)  A B C の箱に一つずつ, D の箱に二つの球が入るような球の入れ方は アイ 通りある.

(2)  1 2 の番号の球を同じ箱に入れ,四つの箱のどれにも球が入るような球の入れ方は ウエ 通りある.

(3) 四つの箱のどれにも球が入るような球の入れ方は オカキ 通りある.

(4) 少なくとも一つの箱が空であるような球の入れ方は クケコ 通りある.

(5)  A の箱と B の箱に同じ個数の球が入るような球の入れ方は サシス 通りある.ただし,どちらの箱も空の場合は,同じ個数とみなす.

2002 大学入試センター試験 本試

数学IA

必答問題 [2]と合わせて配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

[1]  a b を実数とし, x の整式 A B

A=x2 +a x+b B=x2 +x +1

とする.ただし, A B は等しくないものとする.

(1) 等式

A2+ B2= 2x4 +6 x3+ 3x2 +cx +d

が成り立つとき, a= b= c= d= である.

(2) 等式

A2 B2= (AB )(A +B) ={ (a1 )x+ (b1 )} { x2+( a+ ) x +b +1}

を考える. AB x1 で割り切れるのは のときであり,また, A+B x 1 で割り切れるのは のときである.よって A B A+B が同時に x 1 で割り切れることはない.ただし, については,次の 0 4 の中から当てはまるものをそれぞれ一つずつ選べ.

0 a+ b=0 1 a b=0 2 a+ b2= 0
3 a+ b+4= 0 4 a b2 =0

したがって, A2 B2 (x 1) 2 で割り切れるのは, A+B (x 1 )2 で割り切れる場合である.このとき

a= b= A2 B 2= サシス x (x 1)2

となる.

2002 大学入試センター試験 本試

数学IA

必答問題 [1]と合わせて配点40点

数学I【2】の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】

[2] 半径 R の円に内接する四角形 ABCD

AB=3 1 BC=3 +1 cos ABC = 14

を満たしており, ACD の面積は ABC の面積の 3 倍であるとする.

 このとき,

AC= R= タチ

である.

また, ACD ABC の面積についての条件から,

となる.したがって,四角形 ABCD の周の長さは

+ 23

である.

2002 大学入試センター試験 本試

数学IA

選択問題 配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】(1) 初項が 0 でない等比数列 {an } a1 +2 a2 =0 を満たしている.

 このとき,公比は アイ である. a1 +a 2+ a3= 9 4 ならば, a4 +a 5+ a6= エオ カキ であり, 1a1 + 1a2 + +1 an =57 となるのは n= のときである.

(2)  bn= pn+ q で表される数列 {b n} に対して,初項から第 n 項までの和を Sn とする. b7 =1 S12 =10 ならば, p= q= サシ であり, S1 +S 2+ +S12 = セソ である.

2002 大学入試センター試験 本試

数学IA

選択問題 配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

circle and lines

【4】 三角形 ABC の外心を O 内心を I また,外接円の半径を R 内接円の半径を r とする. O I が一致しない場合に R r OI の関係を調べよう.下記の 〜 には A G の中から C 以外の当てはまる文字を選べ.ただし,は解答の順序を問わない.

  AI の延長と外接円の交点を D とし, DO の延長と外接円の交点を E とする.また直線 OI と外接円の交点を F G とし F O I G がこの順に並ぶものとする. I から AC へ垂線をひき,交点を H とする.

  AHI EBD は,

であるから相似で, ED: I= エオ :HI が成り立ち

I エオ =2 r R (1)

 次に DBI において

であるから, DIB= クケ I で, DBI は二等辺三角形となり

エオ =ID (2)

  IFD IAG において

したがって, IFD IAG は相似であり

 (1),(2),(3)から

OI2 =R2

が成り立つ.ただし, には次の 0 5 の中から正しいものを一つ選べ.



2002 大学入試センター試験 本試

数学IA

選択問題 配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】 次のプログラムは x=0 1 9 に対する ax 2+b x+c の値の最小値と最大値を求めるものである. アイウ エオカ に適当な行番号を入れてプログラムを完成せよ.

(1) 上のプログラムを実行して,a = ? に対して −1 b = ? に対して 7 c = ? に対して 28 を入力すると,180 行は 回,200 行は 回実行され

最小値 = ケコ

最大値 = サシ

が表示される.また,170 行の不等号 >= > に,190 行の不等号 <= < に変更したのち,同じデータを入力すると,180 行は 回,200 行は 回実行され

最小値 = ソタ

最大値 = チツ

が表示される.

(2) 冒頭のプログラムの 170 行と 180 行は,180 行を削除して 170 行を

170

と書き直しても同じ結果を得る.同様に 190 行と 200 行も,200 行を削除して,190 行を

190

と書き直すことができる.ただし, については,次の 0 5 の中から最もふさわしいものを一つずつ選べ.



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