2002　大学入試センター試験　追試験　数学I・数学IAMathJax

【１】

〔１〕　$a\ne 0$として，次の二つの$2$次関数について考える．

$y=a{x}^2+2ax+a+6$	$\cdots \text{(A)}$
$y=x^2+bx+2b-6$	$\cdots \text{(B)}$

(1)　(A)のグラフの頂点は$(\boxed{\text{アイ}},\boxed{\text{ウ}})$である．

(2)　(B)のグラフを$x$軸方向へ$1\text{，}$$y$軸方向へ$p$平行移動したところ(A)のグラフに重なった．このとき

$a=\boxed{\text{エ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{オ}}\text{，}$$p=\boxed{\text{カ}}$

である．

(3)　(A)のグラフが$x$軸と$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わり，線分$\mathrm{PQ}$の長さが$2\sqrt{6}$になるのは$a=\boxed{\text{キク}}$のときである．また，(B)のグラフと $x$軸との交点を$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$としたとき，線分$\mathrm{RS}$の長さが$2\sqrt{6}$以下になるのは

$\boxed{\text{ケ}}\leqq b\leqq \boxed{\text{コ}}$

のときである．さらに，線分$\mathrm{RS}$の長さの最小値は$\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$である．

【１】

〔２〕　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の二人がそれぞれ袋をもっている．$\mathrm{A}$の袋には黒玉が$3$個と白玉が$2$個，$\mathrm{B}$の袋には黒玉が$2$個と白玉が$3$個入っている．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がそれぞれ自分の袋から$1$個ずつ玉を取り出す．同じ色の玉が取り出されれば$\mathrm{A}$の勝ち，そうでなければ$\mathrm{A}$の負けとする．$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$である．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がそれぞれ自分の袋から同時に$2$個ずつ玉を取り出す．

　取り出した$4$個がすべて黒玉である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツテト}}}}$である．

　二人の取り出した黒玉の個数の合計が，偶数ならば$\mathrm{A}$の勝ち，奇数ならば$\mathrm{A}$の負けとする．ただし，$0$は偶数に含めるものとする．$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌネ}}}}$である．$\mathrm{A}$が勝ったときは，二人の取り出した黒玉の個数の合計を$\mathrm{A}$の得点とし，$\mathrm{A}$が負けたときは，$\mathrm{A}$の得点を$\mathrm{-1}$とする．$\mathrm{A}$の得点の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノハ}}}{\boxed{\text{ヒフ}}}}$である．

【２】　鋭角三角形$▵\mathrm{ABC}$を底面とする四面体$\mathrm{ABCD}$において，

$\mathrm{DA}={\displaystyle \frac{3\sqrt{55}}{11}}\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$

であり，$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心$\mathrm{O}$と点$\mathrm{D}$を通る直線は，底面に垂直で

$\tan \angle \mathrm{DAO}=\sqrt{2}\text{，}$$\cos \angle \mathrm{AOB}=-{\displaystyle \frac{5}{6}}$

を満たしているとする．このとき，

$\cos \angle \mathrm{DAO}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

となり，円$O$の半径は

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウエオ}}}}{11}}$

となる．また，

$\mathrm{AB}=\sqrt{\boxed{\text{カ}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{ACB}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

で，$\mathrm{CA}=\boxed{\text{コ}}$である．したがって，$▵\mathrm{ABC}$の面積は

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サシ}}}}{2}}$

である．さらに，四面体$\mathrm{ABCD}$の高さ$\mathrm{DO}$は

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{スセソ}}}}{\boxed{\text{タチ}}}}$

であるから，体積は

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ツテ}}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

となる．

【３】(1)　$540$を素因数分解すると${\boxed{\text{ア}}}^3\times {\boxed{\text{イ}}}^2\times \boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　$540$の正の約数は，$1$と$540$を含めて$\boxed{\text{エオ}}$個あり，それらの和は$\boxed{\text{カキクケ}}$である．

(3)　$540$との最小公倍数が$2700$である自然数は$\boxed{\text{コサ}}$個ある．

(4)　$540$以下の自然数のうち，$2$でも$3$でも割り切れないものは$\boxed{\text{シスセ}}$個ある．さらに$540$との最大公約数が$1$であるものは$\boxed{\text{ソタチ}}$個ある．

【２】

〔１〕

(1)　整式

• $A=x^4-4x^3+6x^2+x+5$
• $B=x^2-ax-1\text{，}$$C=x^2-x-b$

を考える．このとき$A-BC$は

$(a-\boxed{\text{ア}})x^3+(b-a+\boxed{\text{イ}})x^2$$-abx-b+\boxed{\text{ウ}}$

であり，$A-BC$が$x$についての$1$次式になるのは$a=\boxed{\text{エ}}\text{，}$$b=-\boxed{\text{オ}}$のときである．

　$x={\displaystyle \frac{3+\sqrt{13}}{2}}$とおくと$A=\boxed{\text{カキ}}+\boxed{\text{ク}}\sqrt{13}$となる．

【２】

〔１〕

(2)　実数$p$について次の条件を考える．

• (a)　$p<1$
• (b)　$\left|p\right|<1$
• (c)　$|p-1|<2\sqrt{3}$
• (d)　$2$次関数$y=x^2+(p-1)x+3$のグラフの頂点の$x$座標，$y$座標がともに正である．

　次の$\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$\boxed{\text{コ}}\text{，}$$\boxed{\text{サ}}$について，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから当てはまるものをそれぞれ一つずつ選べ．

(c)は(b)であるための$\boxed{\text{ケ}}$．

「(a)かつ(c)」は(d)であるための$\boxed{\text{コ}}$．

(b)は(d)であるための$\boxed{\text{サ}}$．

• $\overline{)\text{0}}$　必要十分条件である
• $\overline{)\text{1}}$　必要条件であるが，十分条件でない
• $\overline{)\text{2}}$　十分条件であるが，必要条件でない
• $\overline{)\text{3}}$　必要条件でも十分条件でもない

【２】

〔２〕　鋭角三角形$▵\mathrm{ABC}$を底面とする四面体$\mathrm{ABCD}$において，

$\mathrm{DA}={\displaystyle \frac{3\sqrt{55}}{11}}\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$

であり，$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心$\mathrm{O}$と点$\mathrm{D}$を通る直線は，底面に垂直で

$\tan \angle \mathrm{DAO}=\sqrt{2}\text{，}$$\cos \angle \mathrm{AOB}=-{\displaystyle \frac{5}{6}}$

を満たしているとする．このとき，

$\cos \angle \mathrm{DAO}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

であるから，円$O$の半径は

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{セソタ}}}}{11}}$

となる．また，

$\mathrm{AB}=\sqrt{\boxed{\text{チ}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{ACB}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ツテ}}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

で，$\mathrm{CA}=\boxed{\text{ナ}}$である．さらに，四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ニヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$

となる．

【３】　 $10$項からなる二つの数列

• $2\text{，}4\text{，}6\text{，}8\text{，}10\text{，}12\text{，}14\text{，}16\text{，}18\text{，}20$
• $2\text{，}4\text{，}8\text{，}16\text{，}32\text{，}64\text{，}128\text{，}256\text{，}512\text{，}1024$

を横と縦に並べる．それぞれの数列から項を一つずつ選び，積を表にする．下にはその一部分が書かれている．

	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$	$18$	$20$
$2$	$4$	$8$								$40$
$4$	$8$	$16$
$8$
$16$
$32$
$64$
$128$
$256$
$512$
$1024$	$2048$									$20480$

(1)　太枠内の一番上に現れる数の和$4+8+\cdots +40$は$\boxed{\text{アイウ}}$である．

(2)　太枠内の一番左に現れる数の和$4+8+\cdots +2048$は$\boxed{\text{エオカキ}}$である．

(3)　太枠内に現れるすべての数の和は$\boxed{\text{クケコサシス}}$である．

(4)　太枠内の左上から右下に向かう対角線の部分に現れる数の和を$S$とすると

$S-2S=2\cdot 2+2\cdot 2^2+2\cdot 2^3+\cdots 2\cdot 2^{\mathrm{セソ}}-20\cdot 2^{\mathrm{タチ}}$

が成り立つので，$S=\boxed{\text{ツテトナニ}}$である．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{G}$は，外接円$O$の$\mathrm{A}$を含まない弧$\mathrm{BC}$上を動くとする．$\mathrm{G}$から直線$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$に垂線をひき，$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$との交点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$とする．$\angle \mathrm{A}\leqq 90°$の場合に$3$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$の位置関係を調べよう．次の文章中の ア〜シ とセ〜チについては，$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{G}$のうちから当てはまる文字を選べ．ただし，アとウ，エとカ，キとケ，コとシ， セとソは，それぞれ解答の順序を問わない．

　まず，$\angle \mathrm{A}$は鋭角とする．$4$点$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}$は，

$\angle \mathrm{GDB}=\angle \boxed{\text{アイウ}}=90°$

であるから，同一円周上にあり，したがって

$\angle \mathrm{BED}=\angle \boxed{\text{エオカ}}\cdots \text{(1)}$

同じようにして，$4$点$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{E}$も同一円周上にあるので

$\angle \mathrm{CEF}=\angle \boxed{\text{キクケ}}\cdots \text{(2)}$

さらに，四辺形$\mathrm{ABGC}$は円$O$に内接するから

$\angle \mathrm{DBG}=\angle \mathrm{GCF}$

これと$\angle \mathrm{BDG}=\angle \mathrm{GFC}=90°$から$▵\mathrm{BGD}\backsim ▵\mathrm{CGF}$となり

$\angle \mathrm{BGD}=\angle \mathrm{CGF}\cdots \text{(3)}$

(1)，(2)，(3)から$\angle \mathrm{BED}=\angle \boxed{\text{コサシ}}$が成り立つ．したがって，$\angle \mathrm{DEF}=180°$となり，$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$は一直線上にある．

　次に，$\angle \mathrm{A}$が直角の場合を考える．このとき，四辺形$\mathrm{ADGF}$は$\boxed{\text{ス}}$である．ただし，$\boxed{\text{ス}}$には，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$の中から最もふさわしいものを選べ．

$\overline{)\text{0}}$　正方形　　$\overline{)\text{1}}$　長方形　　$\overline{)\text{2}}$　ひし形　　$\overline{)\text{3}}$　平行四辺形

　したがって，$\mathrm{DF}=\boxed{\text{セソ}}$である．$\mathrm{DF}$が最大になるのは$\mathrm{AG}$が円$O$の直径になるときで，このとき点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{F}$は点$\boxed{\text{タ}}\text{，}$$\boxed{\text{チ}}$にそれぞれ一致する．また，このとき点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BC}$を$\boxed{\text{ツ}}$に内分する．$\boxed{\text{ツ}}$には下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$の中から当てはまるものを一つ選べ．

【５】　自然数$A$に対して，次のような処理を行うプログラムを作った．なお，$A$の$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$数を$n$とする．

処理(a)　$A^2$の下$n$桁が$A$と等しいかどうかを調べ，等しいときは次の 処理(b)に進み，異なるときは文字 F を表示し処理(b)を行わない．

（例：$A=76$のとき，$A^2=5776$の下$2$桁が$76$と等しいので，処理(b)を行う．）

処理(b)　$n+1$桁の自然数$B$で下$n$桁が$A$と等しく，$B^2$の下$n+1$桁が$B$と等しいものを求める．ただし，そのような$B$が存在しないときは$0$を表示する．

（例：$A=76$のとき，$B=376$は上の性質を満たす．実際，$376$は下$2$桁が$76$と等しく，$B^2=141376$の下$3$桁が$376$と等しい．）

　以下のプログラムにおいて，INT(X) は X をこえない最大の整数をあらわす．

• 100 INUPT "A=" ; A
• 110 C = 10
• 120 IF A/C < 1 THEN GOTO 150
• 130 C = C*10
• 140 GOTO 120
• 150 E = A*A - A
• 160 IF INT(E/C) = E/C THEN GOTO 190
• 170 PRINT "F"
• 180 GOTO 260
• 190 B = 0
• 200 FOR D = 1 TO 9
• 210  G = D*C + A
• 220  E = (G*G - G)/C
• 230  IF INT(E/10) = E/10 THEN B = G
• 240 NEXT D
• 250 PRINT B
• 260 END

(1)　このプログラムを実行し，A = ? に対して，$2$を入力すると$\boxed{\text{ア}}$行により$\boxed{\text{イ}}$と出力され，$5$を入力すると$\boxed{\text{ウエ}}$と出力される．

　また，このプログラムにおいて，$\boxed{\text{オ}}$行から$\boxed{\text{カ}}$行までは$A$の桁数を調べている．そして，$\boxed{\text{キ}}$行から$\boxed{\text{ク}}$行までが 処理(a)に，$\boxed{\text{ケ}}$行から$\boxed{\text{コ}}$行までが処理(b)に対応している．ただし，上の$\boxed{\text{イ}}$と$\boxed{\text{ウエ}}$以外の解答欄については，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$の中から最もふさわしいものを一つずつ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$ 110  
• $\overline{)\text{1}}$ 130  
• $\overline{)\text{2}}$ 140  
• $\overline{)\text{3}}$ 150
• $\overline{)\text{4}}$ 170  
• $\overline{)\text{5}}$ 180  
• $\overline{)\text{6}}$ 190  
• $\overline{)\text{7}}$ 250

(2)　A = ? に対して$376$を入力すると，130 行は$\boxed{\text{サ}}$回実行される．

(3)　このプログラムにおいて，210 行が実行されるとき，変数 C を$A$の桁数$n$を使って表すと$\boxed{\text{シ}}$に等しい．ただし，$\boxed{\text{シ}}$については次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$の中から適当なものを一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}n$
• $\overline{)\text{1}}n+1$
• $\overline{)\text{2}}10n$
• $\overline{)\text{3}}10(n+1)$
• $\overline{)\text{4}}{10}^n$
• $\overline{)\text{5}}{10}^{n+1}$