2002　北海道大学　前期MathJax

【１】　 関数$f(x)\text{，}g(x)$を次のように定める．

• $f(x)=x^2+ax+b\text{，}$
• $g(x)=x+c$

ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は定数とする．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx={\displaystyle {\int }_0^1}g(x)dx$となるための$a\text{，}b\text{，}c$の満たす条件を求めよ．

(2)　(1)の条件のもとで，$0\leqq x\leqq 1$における$2$つの関数のグラフの共有点の個数を求めよ．

【２】(1)　$1000$から$9999$までの$4$桁の自然数のうち，$1000$や$1212$のようにちょうど$2$種類の数字から成り立っているものの個数を求めよ．

(2)　$n$桁の自然数のうち，ちょうど$2$種類の数字から成り立っているものの個数を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を$2b<3a<6b$を満たす正の定数とする．

(1)　次の連立不等式の表す領域を図示せよ．

$\{\begin{array}{l}x+3y\leqq 12\\ 3x+y\leqq 12\\ a(x-3)+b(y-2)\leqq 0\\ x\geqq 0\\ y\geqq 0\end{array}$

(2)　実数$x\text{，}y$が(1)の連立不等式を満たすとき，$x+y$の最大値を$a\text{，}b$を用いて表せ．

【４】　次の問いに答えよ．ただし，$i$を虚数単位とする．

(1)　$\alpha =\cos 72°+i\sin 72°$として$x$についての恒等式

$(x-\alpha )(x-{\alpha }^2)(x-{\alpha }^3)(x-{\alpha }^4)=x^4+x^3+x^2+x+1$

を示せ．

(2)　$n$は$5$以上の自然数とする．$\beta ={\displaystyle \cos \frac{360°}{n}+i\sin \frac{360°}{n}}$として，等式

$(1-\beta )(1-{\beta }^2)(1-{\beta }^3)\cdots (1-{\beta }^{n-1})=n$

を示せ．

【１】　$f(x)$を微分可能な関数とする．

(1)　$n$を自然数とするとき，等式

${\displaystyle \frac{1}{x-1}}{\displaystyle {\int }_1^x}f(t)dt=x^n\text{（}x\ne 1\text{）}$

を満たす関数 を求めよ．

(2)　任意の実数$x\text{，}a$に対して，等式

${\displaystyle \frac{1}{x-a}}{\displaystyle {\int }_a^x}f(t)dt={\displaystyle \frac{1}{2}}(f(x)+f(a))\text{（}x\ne a\text{）}$

を満たし，かつ条件$f(0)=1$および$f^{\prime }(0)=2$を満たす関数$f(x)$を求めよ．

【３】　$xy$平面上の異なる$2$点$\mathrm{A}(x_1,y_2)\text{，}\mathrm{B}(x_2,y_2)\text{（}{x}_2\ne 0\text{）}$に対して点$\mathrm{C}(x_1+x_2,y_1+y_2)\text{，}$点$\mathrm{D}(x_2,0)$をとり，直線$\mathrm{AC}$と$y$軸の交点を$\mathrm{E}$とする．ただし，原点$\mathrm{O}$は直線$\mathrm{AB}$上にはないものとする．

(1)　直角三角形$\mathrm{ODE}$の面積を$S$とするとき，$S$を$x_1\text{，}{y}_1\text{，}{x}_2\text{，}{y}_2$で表せ．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が楕円$L:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}=1\text{（}a>b>0\text{）}$上を動くとき，$S$の最大値を$a\text{，}b$で表せ．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が$L$上にあって(2)で求めた$S$の最大値を与えるとき，点$\mathrm{C}$は楕円${\displaystyle {\left(\frac{x}{\sqrt{2}a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{\sqrt{2}b}\right)}^2=1}$上にあることを示せ．

【４】　$n$を$3$以上の自然数とするとき，次を示せ．

　ただし，$\alpha ={\displaystyle \cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}}$とし，$i$を虚数単位とする．

(1)　${\alpha }^k+{\bar{\alpha }}^k=2\cos {\displaystyle \frac{2\pi k}{n}}$

　ただし，$k$は自然数とし，$\bar{\alpha }$は$\alpha$に共役な複素数とする．

(2)　$n=(1-\alpha )(1-{\alpha }^2)\cdots (1-{\alpha }^{n-1})$

(3)　${\displaystyle \frac{n}{2^{n-1}}=\sin \frac{\pi }{n}\sin \frac{2\pi }{n}\cdots \sin \frac{n-1}{n}\pi }$

【５】　$2$点$(1,0,0)\text{，}(0,2,0)$を通る直線を$l$とし，中心が$\mathrm{R}(0,0,2)$で半径が$1$の球面を$C$とする．点$\mathrm{P}$が$l$上にあり点$\mathrm{Q}$が$C$上にあるとし，線分$\mathrm{PQ}$は直線$l$と線分$\mathrm{RQ}$に垂直であるとする．

(1)　点$\mathrm{P}$の存在する範囲を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを最小にする点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．