2002　室蘭工業大学　前期MathJax

【１】　$2$曲線$y=x^2+x-1\cdots \text{①}\text{，}y=x^2-9x+24\cdots \text{②}$が与えられている．直線$l$は曲線$\text{①}$の接線であり，かつ曲線$\text{②}$の接線でもある．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　直線$l$と曲線$\text{①}$および$\text{②}$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　関数$y=f(x)$は媒介変数$t$を用いて

$\{\begin{array}{l}x=e^{2t}\\ y=e^{-2t}{\sin }^{2}t\end{array}$

と表されている．

(1)　${\displaystyle \frac{dx}{dt}}$および${\displaystyle \frac{dy}{dt}}$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0$となる$t$の値を$t\geqq 0$において求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_1^{e^{2x}}}f(x)dx$の値を求めよ．

【３】　$3$次式$P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$について

$P(x)+P(-x)=0$

は$x$についての恒等式であるとする．さらに，$P(x)$は$x+1$で割り切れ，$x-2$で割った余りは$6$であるとする．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値を求めよ．

(2)　$s\text{，}t$が$s+t>0$を満たすとき，不等式

$2P(s+t)\leqq P(2s)+P(2t)$

が成り立つことを証明せよ．

【４】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は，すべての自然数$n$に対して，

$a_n=b_n+2n+p\text{，}2b_{n+1}=b_n+qn-5$

を満たすとする．ただし，$p\text{，}q$は定数である．さらに，$b_1=-2$とする．

(1)　$a_2$および$a_3$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　数列$\{a_n\}$は公比${\displaystyle \frac{1}{2}}$の等比数列であるとする．このとき，$p\text{，}q$の値を定め，一般項$a_n\text{，}{b}_n$を求めよ．

【５】　四角形$\mathrm{ABCD}$は$2\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たすとし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{u}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DC}}=\overrightarrow{v}$とおく．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$はそれぞれ辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{AD}$上にあり，

$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PS}}=\overrightarrow{\mathrm{QR}}$

を満たすとする．さらに，実数$k\text{，}l\text{，}m$は

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DR}}=l\overrightarrow{\mathrm{DC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AS}}=m\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

を満たすとする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{u}\text{，}\overrightarrow{v}$を用いて表せ．また，$l$および$m$を$k$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$のなす角を$\theta$とする．$\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{v}\right|$かつ$\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}$であるとき，$\cos \theta$を$k$を用いて表せ．

【６】　複素数$z=x+yi$（$x\text{，}y$は実数，$i$は虚数単位）に対して，$w={\displaystyle \frac{1+z}{1-z}}$とおく．ただし，$z\ne 1$とする．

(1)　$z$を$w$を用いて表せ．また，$x$を$w\text{，}\bar{w}$を用いて表せ．ここで$\bar{w}$は$w$に共役な複素数である．

(2)　$x=5$のとき，$w$で表される点は複素数平面上のどんな図形上にあるか．

【７】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$は$a+d=ad-bc$を満たし，$2\times 2$行列$B$は$A+B=AB$を満たすとする．$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．

(1)　行列$A-E$の逆行列を求めよ．

(2)　行列$A+B$を$a\text{，}d$を用いて表せ．

(3)　行列$A^2+B^2$を$a\text{，}d$を用いて表せ．

【８】　$a>0\text{，}b>0$とする．点$\mathrm{P}$が円$x^2+y^2=a^2$の周上を動くとき，$\mathrm{P}$の$y$座標だけを${\displaystyle \frac{b}{a}}$倍した点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C_1$とする．$k$を定数として，直線$y=x+k$に関して$C_1$と対称な曲線を$C_2$とする．

(1)　$C_1$を表す方程式を求めよ．

(2)　$C_2$を表す方程式を求めよ．

(3)　直線$y=x+k$と$C_2$が共有点をもたないときの$k$の値の範囲を求めよ．