2002　東北大学　後期MathJax

【１】　${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq 2$とする．$xy$平面上の点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(-1,0)\text{，}\mathrm{C}(-1,-1)\text{，}\mathrm{D}(1,-1)$を頂点とする長方形のうち，放物線$2y=x^2-a$の下にある部分の面積を$S_1\text{，}$上にある部分の面積を$S_2$とする．

(1)　$S_1$を求めよ．

(2)　$a$が${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq 2$を動くときの${S_1}^2+{S_2}^2$の最大値，最小値，およびそれらの値をとるときの$a$の値を求めよ．

【２】　水平な地面に垂直に塔が建っている．目の高さ$1.5m$の人が地面のある地点$\mathrm{A}$に立って塔の頂上を見上げると，仰角（視線が水平面となす角）が$\theta$であった．ただし，$\theta >0°$とする．この人が塔に向かって$160m$近づいて見上げると，仰角が$2\theta$になった．さらに$100m$近づいて見上げると，仰角が$4\theta$になった．以下の問いに答えよ．

(1)　$\cos \theta$の値を求めよ．

(2)　塔の高さを求めよ．

(3)　同じ人が地点$\mathrm{A}$から塔に向かって何$m$近づくと，塔の頂上を見上げる仰角が$3\theta$となるか．

【３】　赤箱，白箱，黒箱に，赤玉，白玉，黒玉がそれぞれ，右の表の個数だけ入っている．

　これらの箱の$1$つから$1$個の玉を取り出し，同じ箱にもどすという試行を，以下の規則にしたがって繰り返す．ただし，各箱から玉を取り出すとき，箱の中のどの玉が取り出されるのも，同様に確からしいものとする．

　$1$回目は白箱から取り出す．$2$回目以降は，前回に取り出された玉と同じ色の箱から取り出す．$2$回連続して赤玉が取り出されたら，試行を終了する．

(1)　ちょうど$4$回で試行が終了する確率を求めよ．

(2)　$1$回目が赤玉であり，かつちょうど$5$回で試行が終了する確率を求めよ．

(3)　$1$回目が赤玉であり，かつ試行が$6$回以上続く確率を求めよ．

【４】　$2$つの放物線

$C_1:y=x^2\text{，}{C}_2:y={(x-a)}^2+b\text{（}a\ne 0\text{）}$

と$1$点ずつを共有する放物線

$C:y=p{(x-q)}^2+r\text{（}p\ne 1\text{）}$

を考える．$C_i$と$C$との共有点を${\mathrm{P}}_i(x_i,y_i)$とする．このとき，$x_1\ne x_2$であることを示せ．さらに，線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の傾きを$a\text{，}b$のみの式で表せ．

【１】　$p>0$とする．$xy$平面上の点$\mathrm{A}$が放物線$y^2=4x$上を動くとき，点$\mathrm{A}$と$x$軸上の点$(t,0)$の距離の最小値$g(t)$を求めよ．さらに，$x\geqq 0$のとき，${\displaystyle {\int }_0^x}g(t)dt$を求めよ．

【２】　$2$つの複素数$\alpha \text{，}\beta$が

$i\alpha \beta =1\text{，}{\displaystyle \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\bar{\alpha }}}=\beta +\bar{\beta }$

をみたすとする．ただし，$i=\sqrt{-1}$とし，$\bar{\alpha }$は$\alpha$に共役な複素数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　等式$|\alpha -1|=|\alpha \beta -\alpha |$が成立することを示せ．

(2)　$\alpha$がさらに

$|\alpha |={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}}\text{，}\alpha +\bar{\alpha }<0$

をみたすとき，$\alpha$の値を求めよ．また，複素数平面上の$3$点$1\text{，}\alpha \text{，}\alpha \beta$を頂点とする三角形を求め，図示せよ．

【３】　$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$を単位行列とする．$a\text{，}b\text{，}c$は実数とし，行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& a+1\\ b& c\end{array}\right)$が次の条件

$A^3=E\text{，}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)A\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=A^{-1}$

をみたすとする．このような$A$をすべて求めよ．

【５】　$n$を自然数とする．$xy$平面の$x$軸上の区間$[p,q]$を$2^n$等分し，$k$番目の分点の$x$座標を$p_k$とする．すなわち

$p_0=p\text{，}{p}_{2^n}=q\text{，}{p}_k-p_{k-1}={\displaystyle \frac{q-p}{2^n}}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}{2}^n\text{）}$

とする．$k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}{2}^n$に対し，放物線$y=x^2$上の点$(p_k,{p_k}^2)$を${\mathrm{P}}_k$とおく．線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_{2^n}$と放物線で囲まれる図形の面積を$S$とし，点${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{2^n}\text{，}{\mathrm{P}}_0$を順に線分で結んでできる多角形の面積を$S_n$とする．

(1)　$S_1$を求めよ．

(2)　$n>1$のとき，$S_n$と$S_{n-1}$の関係式を求めよ．

(3)　$S_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　$S_n\geqq 0.999S$をみたす最小の$n$を求めよ．

【６】　$a$は実数とする．関数$f(x)=2x^2\log x-x^2-ax(x-2)$の$x>1$における極小値の個数を求めよ（極小値そのものは求める必要はない）．ただし，$\log$は自然対数とする．