2002　筑波大学　前期MathJax

【１】　$a$を正の定数とし，関数$f(x)$を以下のように定める．

$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{{(1+x)}^a}}\text{（}x>0\text{）}$

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$e^{\frac{1}{a}}$と$e^{\frac{2}{a}}$の間に$f^{\prime }(c)=0$となる$c$が存在することを示せ．

(2)　$f^{\prime }(c)=0$となる$c$はただ一つであり，関数$f(x)$は$x=c$で最大値をとることを示せ．

【２】　曲線$C$を次の方程式で定める．

$y=\sqrt{x^2+4}\text{（}x\geqq 0\text{）}$

　$C$上の点$\mathrm{P}$を通る傾き$-1$の直線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$2t$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の$x$座標，$y$座標を$t$で表わせ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$C$上を動いたときの$t$の最小値を求めよ．

(3)　原点を$\mathrm{O}$とし，線分$\mathrm{OP}\text{，}$曲線$C\text{，}y$軸で囲まれる図形の面積$S$を$t$で表わせ．

【３】　$x\geqq 0$で定義された連続関数$f(x)$に対して，関数$g(x)\text{（}x>0\text{）}$を次のように定める．

• $g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt\text{（}0<x<1\text{）}$
• $g(x)={\displaystyle {\int }_{x-1}^x}f(t)dt\text{（}x\geqq 1\text{）}$

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x\ne 1$における導関数$g^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)=2\pi \cos (2\pi x)$のとき，$g(x)$を求めよ．

(3)　次のような$g(x)$を定める$f(x)$を求めよ．

• $g(x)=\sin (2\pi x)+x\text{（}0<x<1\text{）}$
• $g(x)=1\text{（}x\geqq 1\text{）}$

【４】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$について次の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数とし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．

(1)　$a+d\ne 0$とする．$A^2=E$ならば$A=E$または$A=-E$であることを示せ．

(2)　$a=d\ne 0$とする．

(ⅰ)　行列$A^2+E$は逆行列を持つことを示せ．

(ⅱ)　$A^4=E$ならば$A=E$または$A=-E$であることを示せ．

【５】　$a$を正の実数とする．曲線$C_a$を極方程式

$r=2a\cos (a-\theta )$

によって定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C_a$は円になることを示し，その中心と半径を求めよ．

(2)　$C_a$が直線$y=-x$に接するような$a$をすべて求めよ．

【６】　数直線上の原点に立つ人が確率$p$で表の出るコインを投げて，表が出れば$+1$進み，裏が出れば$-1$進むとする．その場所で再びコインを投げ，その結果に応じて$+1$または$-1$進む．これを$n$回繰り返した後のこの人の立つ位置を表わす確率変数を$S_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{2}}(S_n+n)$は$2$項分布$B(n,p)$に従うことを示せ．

(2)　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$のコインを$100$回投げた後に，この人が原点から$20$以上隔たっている確率は$0.05$以下であることを示せ．

　ただし，確率変数$U$が標準正規分布$N(0,1)$に従うとき，$P(|U|<1.96)=0.95$であることは用いてよい．

(3)　未知の$p$を持つコインを$100$回投げた後に，この人が$-60$の位置にいたとする．このデータに基づいて，$p$の値を信頼度$95\%$で推定せよ．ただし，信頼区間の端点は小数点以下第$2$位まで求めよ．

【７】　$0<a<1$なる$a$に対して$0$と$1$の列$c_1\text{，}\cdots \text{，}{c}_n$を右の流れ図に従って計算する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a=0.25$および$a=0.375$のとき，それぞれに対応する$c_1\text{，}\cdots \text{，}{c}_n$を求めよ．

(2)　$a=0.1$のとき，どのような出力が得られるか説明せよ．

(3)　$c_1=1\text{，}{c}_2=0\text{，}{c}_3=1\text{，}{c}_4=1$を出力して終了する$a$を求めよ．

(4)　逆に$c_1\text{，}\cdots \text{，}{c}_n$が与えられたとき，$c_1\text{，}\cdots \text{，}{c}_n$を出力して終了するような$a$を求める$\mathrm{BASIC}$プログラムを書け．ただし，$n$および$c_1\text{，}\cdots \text{，}{c}_n$は変数 N と C(1) ，$\cdots \text{，}$C(N) に代入されているものとする．

志望別問題選択一覧

第一学群

　自然学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【７】から２題選択

第二学群

　人間学類　数学III選択　【１】〜【３】から２題選択

　人間学類　数学C選択　【４】〜【７】から２題選択

　生物学類，生物資源学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【７】から２題選択

第三学群

　社会工学類，情報学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【７】から２題選択

　国際総合学類　【１】〜【３】から２題選択，【４】〜【７】から２題選択

　工学システム学類，工学基礎学類　【１】，【２】必須，【４】〜【７】から１題選択

医学専門学群

　【１】〜【３】必須，【４】〜【７】から２題選択