2002　埼玉大学　前期(理学部(数学科))MathJax

【１】　$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)\text{，}Y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$に対し，$X\cdot Y=x_1{y}_1+x_2{y}_2$と定める．このとき次の問に答えよ．

(1)　すべての$2\times 1$行列$X$に対し，$X\cdot Y=0$が成り立つとする．このとき$Y=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$であることを示せ．

(2)　$A$を$2$次の正方行列とする．すべての$2\times 1$行列$Y$に対して$AY=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$が成り立つとする．このとき$A$は零行列であることを示せ．

(3)　$2$次の正方行列$A$に関する$2$つの命題$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を考える．

• $\mathrm{P}:A$は零行列である．
• $\mathrm{Q}:$すべての$2\times 1$行列$X$に対して，$X\cdot (AX)=0$が成り立つ．

(ⅰ)　「$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}$の十分条件である」はただしい命題か．正しければ証明し，正しくなければこの命題が成り立たないような行列$A$の例をあげよ．

(ⅱ)　「$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}$の必要条件である」は正しい命題か．正しければ証明し，正しくなければこの命題が成り立たないような行列$A$の例をあげよ．

【２】　関数$g(t)$を

$g(t)=\{\begin{array}{ll}t& \text{（}t\geqq 0\text{）}\\ 0& \text{（}t<0\text{）}\end{array}$

と定義する．

　実数$x$に対し，$f(x)={\displaystyle {\int }_{-2}^2}g(1-x^2)g(t-x)dt$とおく．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$はすべての$x$で微分可能であることを示せ．

【３】　$x$の方程式$a{x}^2+2bx-a+1=0$が$-1\leqq x\leqq 1$を満たす解をもつような実数$a\text{，}b$の範囲を$ab$平面に図示せよ．