2002　埼玉大学　後期(理,工学部)MathJax

【１】　$A=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}& 0\end{array}\right)$について，$B_n=A+A^2+A^3+\cdots +A^n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$B_n=p_{n}A+q_{n}E$となる$p_n$と$q_n$を求めよ．ここで，$E$は単位行列とする．

(2)　$p_n+q_n\leqq 100$を満たす最大の$n$とそのときの$p_n+q_n$を求めよ．

【２】　平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が同一直線上にないようにとる．ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．

　実数$r\text{，}s\text{（}r\ne 1\text{，}s\ne 1\text{）}$に対し，点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}$となるように定める．次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$直線$\mathrm{OB}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}r\text{，}s$で表せ．

(2)　線分$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{F}\text{，}$線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}r\text{，}s$で表せ．

(3)　$r\text{，}s$が条件$rs=1$を満たしているとする．このとき$2|\overrightarrow{\mathrm{EF}}|=|\overrightarrow{\mathrm{EG}}|$となるような$r\text{，}s$の組をすべて求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を定数とする．自然数$n$に対し，$f_n(x)$を

• $f_1(x)=\sin x$
• $f_{n+1}(x)=a\sin x+b\cos x+{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{f}_n(x-2t)dt\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義する．次の問いに答えよ．

(1)　$f_5(x)$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{2002}}{(-1)}^n{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{f}_n(x)dx$を求めよ．

【４】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x+1}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}}$

で定義する．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　正の実数$a$に対して，

$S_a=\{x|-a<f(x)<a\}$

と定める．このとき$x$軸における$S_a$の補集合が$3$つの区間の和集合になることを示し，それらの区間の長さの和を求めよ．