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2002-10241-0201
2002 千葉大学 前期 数学III・数学C
教育学部
易□ 並□ 難□
【1】 関数
f⁡(x )=a⁢ sin3⁡ x+b⁢ cos⁡x+ 2
は x= π 6 で極値をとり, f⁡(π )=2- 3⁢3 を満たす.このとき次の問いに答えよ.
(1) 定数 a ,b の値を求めよ.
(2) 区間 0≦ x≦π において,方程式 f⁡ (x)= k の実数解の個数を求めよ.ただし, k は定数である.
2002-10241-0202
【2】 定数 a を a≧ 1 とする.
曲線 y= x⁢e -ax ( 0≦ x≦1 ) 上の点で y 座標を最大にする点を P とする.
(1) 点 P は a の値に関係なく直線 y= e-1 ⁢x 上にあることを示せ.
(2) 点 P から x 軸, y 軸に垂線を引き,それらの垂線と x 軸, y 軸との交点をそれぞれ Q ,R とおく.また,原点を O とする.
曲線 y= x⁢e -a⁢x と x 軸および線分 PQ で囲まれる部分の面積を S , 長方形 ROQP の面積を S′ とする.
このとき, S S′ を求めよ.
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自然教育・技術教育系は必須,
情報教育系は【3】か【4】から1題選択
【3】 極方程式 r= 2 1-cos ⁡θ で表される曲線を C とする.
(1) 曲線 C を直交座標系に関する方程式で表せ.
(2) 直交座標系において,点 P の座標を (-1 ,0) とし,直線 y= m⁢x (m ≠0 ) と曲線 C との交点を Q ,R とする.
このとき,三角形 PQR の面積の値は QR に等しいことを示せ.
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【3】か【4】から1題選択
【4】 次の問いに答えよ.
(1) f⁡(x ) を 2 次式とする.正の数 h に対して,
f⁡(- h)=y 0, f⁡(0 )=y1 , f⁡(h )=y2
とするとき
∫-h h⁡ f⁡(x )⁢dx = h3⁢ (y0 +4⁢ y1+ y2)
となることを示せ.
(2) 区間 1≦ x≦5 を 4 等分して定積分
∫15 ⁡ 1x⁢( x+1) ⁢ d x
の近似値をシンプソンの公式を用いて,小数第 4 位を四捨五入し,小数第 3 位まで求めよ.