2002　千葉大学　前期　数学III・数学CMathJax

【１】　関数

$f(x)=a{\sin }^{3}x+b\cos x+2$

は$x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$で極値をとり，$f(\pi )=2-3\sqrt{3}$を満たす．このとき次の問いに答えよ．

(1)　定数$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　区間$0\leqq x\leqq \pi$において，方程式$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．ただし，$k$は定数である．

【２】　定数$a$を$a\geqq 1$とする．

　曲線$y=x{e}^{-ax}\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$上の点で$y$座標を最大にする点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$は$a$の値に関係なく直線$y=e^{-1}x$上にあることを示せ．

(2)　点$\mathrm{P}$から$x$軸，$y$軸に垂線を引き，それらの垂線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とおく．また，原点を$\mathrm{O}$とする．

　曲線$y=x{e}^{-ax}$と$x$軸および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積を$S\text{，}$長方形$\mathrm{ROQP}$の面積を$S^{\prime }$とする．

　このとき，${\displaystyle \frac{S}{S^{\prime }}}$を求めよ．

【３】　極方程式$r={\displaystyle \frac{2}{1-\cos \theta }}$で表される曲線を$C$とする．

(1)　曲線$C$を直交座標系に関する方程式で表せ．

(2)　直交座標系において，点$\mathrm{P}$の座標を$(-1,0)$とし，直線$y=mx\text{（}m\ne 0\text{）}$と曲線$C$との交点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．

　このとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積の値は$\sqrt{\mathrm{QR}}$に等しいことを示せ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を$2$次式とする．正の数$h$に対して，

$f(-h)=y_0\text{，}f(0)=y_1\text{，}f(h)=y_2$

とするとき

${\displaystyle {\int }_{-h}^h}f(x)dx={\displaystyle \frac{h}{3}}(y_0+4y_1+y_2)$

となることを示せ．

(2)　区間$1\leqq x\leqq 5$を$4$等分して定積分

${\displaystyle {\int }_1^5}{\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}}dx$

の近似値をシンプソンの公式を用いて，小数第$4$位を四捨五入し，小数第$3$位まで求めよ．