2002　東京大学　前期MathJax

【１】　$2$つの放物線

• $y=2\sqrt{3}{(x-\cos \theta )}^2+\sin \theta$
• $y=-2\sqrt{3}{(x+\cos \theta )}^2-\sin \theta$

が相異なる$2$点で交わるような$\theta$の範囲を求めよ．

　ただし，$0°\leqq \theta <360°$とする．

【２】　$n$は正の整数とする．$x^{n+1}$を$x^2-x-1$で割った余りを

$a_{n}x+b_n$

とおく．

(1)　数列$a_n\text{，}{b}_n\text{，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}$は

$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=a_n+b_n\\ b_{n+1}=a_n\end{array}$

を満たすことを示せ．

(2)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，$a_n\text{，}{b}_n$は共に正の整数で，互いに素であることを証明せよ．

【３】　$2$つの関数

• $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$
• $g(x)=p{x}^3+q{x}^2+rx$

が次の$5$つの条件を満たしているとする．

• $f^{\prime }(0)=g^{\prime }(0)\text{，}f(-1)=-1\text{，}{f}^{\prime }(-1)=0\text{，}$
• $g(1)=3\text{，}{g}^{\prime }(1)=0$

ここで，$f(x)\text{，}g(x)$の導関数をそれぞれ$f^{\prime }(x)\text{，}{g}^{\prime }(x)$で表している．

　このような関数のうちで，定積分

${\displaystyle {\int }_{-1}^0}{\{f^{″}(x)\}}^{2}dx+{\displaystyle {\int }_0^1}{\{g^{″}(x)\}}^{2}dx$

の値を最小にするような$f(x)$と$g(x)$を求めよ．

　ただし，$f^{″}(x)\text{，}{g}^{″}(x)$はそれぞれ$f^{\prime }(x)\text{，}{g}^{\prime }(x)$の導関数を表す．

【４】　円周上に$m$個の赤い点と$n$個の青い点を任意の順序に並べる．これらの点により，円周は$m+n$個の弧に分けられる．このとき，これらの弧のうち両端の点の色が異なるものの数は偶数であることを証明せよ．ただし，$m\geqq 1\text{，}n\geqq 1$であるとする．

【１】　$2$つの放物線

• $y=2\sqrt{3}{(x-\cos \theta )}^2+\sin \theta$
• $y=-2\sqrt{3}{(x+\cos \theta )}^2-\sin \theta$

が相異なる$2$点で交わるような一般角$\theta$の範囲を求めよ．

【３】　$xyz$空間内の原点$\mathrm{O}(0,0,0)$を中心とし，点$\mathrm{A}(0,0,-1)$を通る球面を$S$とする．$S$の外側にある点$\mathrm{P}(x,y,z)$に対し，$\mathrm{OP}$を直径とする球面と$S$との交わりとして得られる円を含む平面を$L$とする．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{A}$から平面$L$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．このとき，

$\mathrm{PQ}\leqq \mathrm{AR}$

であるような点$\mathrm{P}$の動く範囲$V$を求め，$V$の体積は$10$より小さいことを示せ．

【４】　$a$は正の実数とする．$xy$平面の$y$軸上に点$\mathrm{P}(0,a)$をとる．関数

$y={\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}}$

のグラフを$C$とする．$C$上の点$\mathrm{Q}$で次の条件を満たすものが原点$\mathrm{O}(0,0)$以外に存在するような$a$の範囲を求めよ．

条件：$\mathrm{Q}$における$C$の接線が直線$\mathrm{PQ}$と直交する．

【５】　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間に点${\mathrm{P}}_k({\displaystyle \frac{k}{n},1-\frac{k}{n}},0)\text{，}k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}n\text{，}$をとる．また，$z$軸上$z\geqq 0$の部分に，点${\mathrm{Q}}_k$を線分${\mathrm{P}}_k{\mathrm{Q}}_k$の長さが$1$になるようにとる．三角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_k{\mathrm{P}}_{k+1}{\mathrm{Q}}_k$の体積を$V_k$とおいて，極限

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{V}_k$

を求めよ．

【６】　$N$を正の整数とする．$2N$個の項からなる数列

$\{a_1,a_2,\cdots ,a_N,b_1,b_2,\cdots ,b_N\}$

を

$\{b_1,a_1,b_2,a_2,\cdots ,b_N,a_N\}$

という数列に並べ替える操作を「シャッフル」と呼ぶことにする．並べ替えた数列は$b_1$を初項とし，$b_i$の次に$a_i\text{，}{a}_i$の次に$b_{i+1}$が来るようなものになる．また，数列$\{1,2,\cdots ,2N\}$をシャッフルしたときに得られる数列において，数$k$が現れる位置を$f(k)$で表す．

　たとえば，$N=3$のとき，$\{1,2,3,4,5,6\}$をシャッフルすると$\{4,1,5,2,6,3\}$となるので，$f(1)=2\text{，}f(2)=4\text{，}f(3)=6\text{，}f(4)=1\text{，}f(5)=3\text{，}f(6)=5$である．

(1)　数列$\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$を$3$回シャッフルしたときに得られる数列を求めよ．

(2)　$1\leqq k\leqq 2N$を満たす任意の整数$k$に対し，$f(k)-2k$は$2N+1$で割り切れることを示せ．

(3)　$n$を正の整数とし，$N=2^{n-1}$のときを考える．数列$\{1,2,3,\cdots ,2N\}$を$2n$回シャッフルすると，$\{1,2,3,\cdots ,2N\}$にもどることを証明せよ．