2002　東京工業大学　前期MathJax

【１】　実数$a$に対し，積分

$f(a)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}|\sin x-a\cos x|dx$

を考える．$f(a)$の最小値を求めよ．

【２】　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{17}+\frac{y^2}{8}}=1$の外部の点$\mathrm{P}(a,b)$からひいた$2$本の接線が直交するような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【３】　空間内にある一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$で，$\mathrm{A}$の座標が$(0,0,1)$であり，$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の$z$座標が等しいものを考える．点$\mathrm{L}(0,0,1+\sqrt{2})$にある光源が$xy$平面上に作るこの正三角形の影の部分の面積の最大値を求めよ．

【４】　$n$を自然数とする．

(1)　次の極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{\log n}}(1+{\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}})$

(2)　関数$y=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)$の極値を与える$x$の最小値を$x_n$とする．このとき

${\displaystyle \frac{1}{x_n}=\frac{1}{1-x_n}+\frac{1}{2-x_n}+\cdots +\frac{1}{n-x_n}}$

および$0\leqq x_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$を示せ．

(3)　(2)の$x_n$に対して，極限

$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\log n$

を求めよ．