2002　東京工業大学　後期数学MathJax

【１】　$n$を自然数とする．

(1)　実数$x$に対して，

${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{(-1)}^k{x}^{2k}-{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$

を求めよ．

(2)　不等式

$|{\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k}{2k+1}}-{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{dx}{1+x^2}}|\leqq {\displaystyle \frac{1}{2n+3}}$

が成り立つことを示せ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k}{2k+1}}$を求めよ．

【２】　$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある．$C$を底面，$(0,0,\sqrt{3})$を頂点とする直円すい$S$を考える．点$\mathrm{P}(1,0,0)$および点$\mathrm{Q}(-2,0,0)$をとる．さらに，動点$\mathrm{M}(\cos \theta ,\sin \theta ,0)\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$を線分$\mathrm{MQ}$が$\mathrm{M}$以外に$C$と交わらないように動かす．

(1)　$\theta$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$から動点$\mathrm{M}$までは直円すい$S$の側面上を通り，$\mathrm{M}$からは直線にそって点$\mathrm{Q}$へ向かう道を考える．このような$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$までの全ての道の長さの最小値を求めよ．