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【2】 図1(a)に示すように方眼紙に平面をとり,点となるつの点をそれぞれ点として直角三角形を描く.そして十分に長いひも,ペン,からまでの目が振られた正六面体のサイコロを用意し,次の手順で図形遊びをしてみよう.
(ⅰ) 三角形の境界を含まない内部に任意の点を選択し,と名付ける.
(ⅱ) 頂点の何れかを選び,その頂点とを結ぶ線分をひもで作成し,線分の中点の位置をペンで方眼紙に記録し,この点をと名付けて,ひもを方眼紙から離す.(図1(b)は一例を示している)
(ⅲ) 手順(ⅱ)と同様に頂点の何れかを選び,その頂点と方眼紙上の番目の点を結ぶ線分をひもで作成し,線分の中点の位置をペンで方眼紙に記録した後,ひもを方眼紙から離す.(回目以降の点)
(ⅳ) 手順(ⅲ)を繰り返す.
このとき以下の問いに答えよ.
問1 任意の位置の点と何れの頂点を選択しても点が打たれない領域が三角形の内部にある.この領域を図示せよ.
問2 同様に任意の位置の点と何れの頂点を選択しても点が打たれない領域が三角形の内部にある.この領域を図示せよ.
問3 回目に打たれた点と回目の点の関係を,他端が頂点のそれぞれの場合について数式で表せ.
問4 手順(ⅲ)において頂点を選択する前に,サイコロを振ってまたはの目が出たら頂点を選択し,またはの目が出たら頂点またはの目が出たら頂点を選択することにする.多くの点を打った場合に画用紙に描かれる図形の概略図を図2(a)〜(d)からつ選択せよ.
問5 問4のケースとは異なり,手順(ⅲ)において頂点を選択する際に,頂点のように順番に頂点を選択して多くの点を打った場合に画用紙に無限に点を打った場合に画用紙に描かれる図形はどのようなものとなるか根拠を示して論述せよ.
(a)三角形 | (b)手順の進め方の一例 (頂点を選択した場合) |
図1 三角形と点の決定 |
(a) | (b) | (c) | (d) |
図2 サイコロを用いて多くの点を打った場合の図形 |